между матрицей и идеально теплопроводным включением, приходим
к соотношению
λ
=
1 + 2
C
V
1
−
C
V
= 1 +
3
C
V
1
−
C
V
.
Проведенный анализ частных случаев, описываемых формулой (9),
может служить косвенным подтверждением корректности использо-
ванной выше процедуры получения этой формулы.
Используем двойственную вариационную формулировку задачи
стационарной теплопроводности [3, 4] для получения двусторонних
оценок эффективного коэффициента теплопроводности рассматривае-
мого композита. Область
V
, содержащую представительный элемент
структуры композита в виде половины составной частицы с радиусом
R
2
, выберем в форме прямого цилиндра с достаточно большой пло-
щадью
S
0
параллельных оснований, одно из которых соответствует в
сферических координатах значению
θ
=
π/
2
, а точки второй имеют ко-
ординаты
r
cos
θ
=
H
, т.е. высота цилиндра равна
H
, причем
H R
2
.
Боковую поверхность цилиндра примем идеально теплоизолирован-
ной, температуру основания при
θ
=
π/
2
положим равной нулю, а на
втором основании зададим температуру
GH
. Однородный материал в
части области вне составной частицы имеет коэффициент теплопро-
водности
λ
. Таким образом, в неоднородной цилиндрической области
объемом
V
0
=
HS
0
, ограниченной поверхностью
S
, распределение
температуры
T
(
M
)
и коэффициент теплопроводности
Λ(
M
)
являют-
ся функциями координат точки
M
∈
V
, причем функция
Λ(
M
)
—
кусочно-постоянная и принимает значения
λ
1
при
R
0
r R
1
,
λ
2
при
R
1
r R
2
и
λ
при
r R
2
.
Для минимизируемого функционала [4]
J
[
T
] =
1
2
V
Λ(
M
)
∇
T
(
M
)
2
dV
(
M
)+
+ 2
πR
2
1
α
2
π/
2
0
Δ
T
к
(
θ
) sin
θ dθ,
(13)
где
∇
— дифференциальный оператор Гамильтона, а
Δ
T
к
(
θ
)
— раз-
ность температур на контактной полусферической поверхности ради-
усом
R
1
. Примем при
r R
1
в качестве допустимого линейное по
высоте цилиндра распределение температуры с постоянной составля-
ющей градиента
G
, т.е.
T
∗
(
r, θ
) =
Gr
cos
θ,
(14)
а в шаровом включении аналогично соотношению (3)
T
∗
1
(
r, θ
) = ( ¯
A
1
r
+ ¯
B
1
/r
2
) cos
θ.
(15)
Из условия отсутствия теплообмена в полости шарового включе-
ния с учетом соотношения (15) получим равенство
¯
A
1
= 2 ¯
B
1
/R
3
0
,
(16)
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2013. № 2 125
