После подстановки в эти равенства соотношений (2) и (3) получим
λ
(
G
−
2
B/R
3
2
) =
A
2
−
2
B
2
/R
3
2
и
G
+
B/R
3
2
=
A
2
+
B
2
/R
3
2
,
(7)
где
λ
=
λ/λ
2
.
Последовательным исключением неизвестных из равенств (5)–(7)
находим
2
B
R
3
2
=
G
λ
(2
C
1
+
C
2
C
V
)
−
2(
C
1
−
C
2
C
V
)
λ
(2
C
1
+
C
2
C
V
) +
C
1
−
C
2
C
V
,
(8)
где
C
1
= ¯
λ
(2+
β
)(1
−
¯
R
3
0
)+
β
(2+ ¯
R
3
0
)
, C
2
= 2 ¯
λ
(1
−
β
)(1
−
¯
R
3
0
)+
β
(2+ ¯
R
3
0
)
и
¯
R
0
=
R
0
/R
1
(
¯
R
0
= 0
в случае включения в виде сплошного шара).
Замена составной шаровой частицы равновеликим шаром с ра-
диусом
R
2
и искомым коэффициентом теплопроводности
λ
приведет
к исчезновению возмущения температурного поля в окружающем ее
однородном материале с тем же значением
λ
. Тогда в равенстве (2)
следует положить
Δ
T
(
r, θ
) = 0
, что равносильно условию
B
= 0
,
которое с учетом формулы (8) позволяет записать
λ
=
2(
C
1
−
C
2
C
V
)
2
C
1
+
C
2
C
V
.
(9)
В частном случае идеального теплового контакта на сферической
поверхности радиусом
R
1
, разделяющей включение и матрицу,
β
→ ∞
и равенство (9) при
¯
R
0
= 0
переходит в известную формулу Макс-
велла [2]
λ
=
2 + ¯
λ
−
2(1
−
¯
λ
)
C
V
2 + ¯
λ
+ (1
−
¯
λ
)
C
V
,
(10)
полученную на основе более простой двухфазной модели, состоящей
из включения в виде сплошного шара и окружающего его материала
матрицы. При полном отсутствии теплового контакта на этой поверх-
ности
β
= 0
и из равенства (9) следует
λ
=
2(1
−
C
V
)
2 +
C
V
= 1
−
3
C
V
2 +
C
V
,
(11)
что соответствует пористому материалу с коэффициентом теплопро-
водности
λ
2
, объемная концентрация пор в котором равна
C
V
. Равен-
ство (9) переходит в соотношение (11) и в случае абсолютно нетепло-
проводных включений (
¯
λ
= 0
). Наоборот, при абсолютно теплопро-
водных включениях (
¯
λ
→ ∞
) из равенства (9) получим формулу
λ
=
2 +
β
−
2(1
−
β
)
C
V
2 +
β
+ (1
−
β
)
C
V
,
(12)
аналогичную формуле (10) Максвелла, но с заменой параметра
¯
λ
на
параметр
β
. Наконец, предельным переходом в правой части формулы
(12) при
β
→ ∞
, что соответствует идеальному тепловому контакту
124 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2013. № 2
