Элементы пространственно-криволинейного стержня в естествен-
ном состоянии (до внедрения в канал) и после внедрения в канал
показаны рис. 1,
б
и
в
.
Вектор кривизн
κ
осевой линии стержня после внедрения в канал,
связанный с главными осями сечения, когда (общий случай) к стержню
в сечении
η
= 0
может быть приложен крутящий момент
M
10
, равен
κ
=
Ω
1
+
dϑ
(
/
)
1
dη
!
e
1
+ Ω
3
sin
ϑ
1
+
ϑ
(
/
)
1
e
2
+ Ω
3
cos
ϑ
1
+
ϑ
(
/
)
1
e
3
,
(3)
где
Ω
1
,
Ω
3
— компоненты вектора Дарбу
Ω
[1],
Ω = Ω
1
e
(
//
)
1
+ Ω
3
e
(
//
)
3
;
Ω
1
=
dϑ
1
dη
— кручение осевой линии канала;
ϑ
1
— угол поворота есте-
ственных осей
n
e
(
//
)
i
0
o
, связанных с осевой линией канала, при пе-
ремещении трехгранника осей вдоль осевой линии;
Ω
3
=
1
ρ
, где
ρ
—
кривизна осевой линии вала;
dϑ
(
/
)
1
dη
— кручение вала, вызванное мо-
ментом
M
10
.
Суммарная “крутка” элемента стержня в канале равна
κ
1
= Ω
1
+
dϑ
(
/
)
1
dη
=
dϑ
1
dη
+
dϑ
(
/
)
1
dη
=
dϑ
1
dη
ϑ
(
/
)
1
+
ϑ
1
=
ϑ
1
.
(4)
Поэтому компоненты вектора
κ
(3) можно представить как
κ
1
=
dϑ
1
dη
;
κ
2
= Ω
3
sin
ϑ
1
;
κ
3
= Ω
3
cos
ϑ
1
.
(5)
Аналогично можно получить выражение для вектора кривизны ва-
ла в естественном состоянии
κ
0
(см. рис. 1,
б
):
κ
0
=
3
X
i
=1
κ
i
0
e
i
0
= Ω
10
e
10
+ Ω
30
sin
ϑ
(0)
10
e
20
+ Ω
30
cos
ϑ
(0)
10
e
30
,
(6)
где
κ
10
= Ω
10
=
dϑ
(0)
10
dη
;
κ
20
= Ω
30
sin
ϑ
(0)
10
;
κ
30
= Ω
30
cos
ϑ
(0)
10
; Ω
30
=
1
ρ
0
.
Выражения (2) для моментов
M
i
, входящих в систему (1), имеют
вид
98 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2006. № 3
