где
s, n
— криволинейная ортогональная система координат на по-
верхности затупленного конуса [4];
Н
1
,
Н
2
— соответствующие па-
раметры Ламэ;
t
1
(
s, n
)
и
t
2
(
s, n
)
— составляющие вектора трения
по
s
и
n
. Сингулярные точки (
s
0
, n
0
)
на поверхности тела опреде-
ляются как точки, в которых касательное напряжение равно нулю:
t
1
(
s
0
, n
0
) =
t
2
(
s
0
, n
0
) = 0
. Если предположить, что трение на поверх-
ности и его производные до второго порядка являются непрерывными
функциями, то исследование течения около сингулярных точек сво-
дится к изучению поведения интегральных кривых одного дифферен-
циального уравнения:
ds/dn
= (
a
(
s
−
s
0
) +
e
(
n
−
n
0
))
/
(
c
(
s
−
s
0
) +
d
(
n
−
n
0
));
(3)
здесь
a
=
1
H
0
2
t
0
2
s
,
e
=
1
H
0
2
t
0
2
n
,
c
=
1
H
0
1
t
0
1
s
,
d
=
1
H
0
1
t
0
1
n
.
Характеристическое уравнение для особой точки имеет вид
q
2
−
Δ
q
+
Q
= 0
,
(4)
где
Δ =
c
+
e
и
Q
=
ce
−
ad
— инварианты, определяющие тип особой
точки. Для сингулярной точки
Δ =
1
H
0
1
t
0
1
s
+
1
H
0
2
t
0
2
n
, Q
=
1
H
0
1
H
0
2
(
t
0
1
s
t
0
2
n
−
t
0
1
n
t
0
2
s
)
(5)
имеют смысл дивергенции вектора касательного напряжения и яко-
биана [4].
При
Q <
0
(два действительных различных по знаку корня ха-
рактеристического уравнения) сингулярная точка будет седловиной.
Через такую точку проходят лишь две предельные линии тока, на
каждой из которых трение меняет знак. При
0
,
25Δ
2
>
Q >
0
(случай
двух действительных и одинаковых по знаку корня характеристиче-
ского уравнения) сингулярная точка будет узлом. Через такую точку
проходит конечное число предельных линий тока, входящих в точку
или выходящих из нее. В регулярном узле (
0
,
5Δ
2
> Q >
0)
все линии
тока, за исключением одной, имеют в сингулярной точке общую каса-
тельную. Если
0
,
5Δ
2
=
Q >
0
(кратный корень характеристического
уравнения) все линии тока проходят через сингулярную точку, не ка-
саясь друг друга (вырожденный узел
а
=
d
=
0), или имеют общую
касательную
(
a
2
+
e
2
6
= 0)
. При
Q >
0
,
25Δ
2
>
0
(комплексные корни
характеристического уравнения) сингулярная точка является фокусом,
где все предельные линии тока сходятся или расходятся по спирали.
В частном случае при
Q >
0
,
Δ
2
= 0
(мнимые сопряженные корни)
имели точку типа центр. В окрестности центра интегральные кривые
замкнуты и охватывают особую точку. Следует отметить, что в случае
вязкого течения такая точка существовать не может [4]. При нали-
чии необратимых процессов частицы газа, описав замкнутую кривую,
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2006. № 2 23
