Коэффициенты второй квадратичной формы определяют через
проекции вторых производных радиуса-вектора
r
поверхности на
нормаль
n
[6]. Единичные орты касательных к координатным линиям
можно записать в виде
t
1
=
∂r
A∂z
=
1
A
∂r
x
∂z
∂r
y
∂z
∂r
z
∂z
т
;
t
2
=
∂r
B∂s
=
1
B
∂r
x
∂s
∂r
y
∂s
∂r
z
∂s
т
.
(17)
Положение нормали
n
определяют через произведение векторов
t
1
и
t
2
:
n
sin
χ
= (
t
1
×
t
2
)
.
(18)
В проекциях на декартовы оси координат выражение (18) получит
вид
n
x
sin
χ
=
1
AB
∂r
y
∂z
∂r
z
∂s
−
∂r
z
∂z
∂r
y
∂s
;
n
y
sin
χ
=
1
AB
∂r
z
∂z
∂r
x
∂s
−
∂r
x
∂z
∂r
z
∂s
;
n
z
sin
χ
=
1
AB
∂r
x
∂z
∂r
y
∂s
−
∂r
y
∂z
∂r
x
∂s
.
(19)
Запись выражений частных производных с последующей подста-
новкой в уравнения (19) приводит к весьма громоздким выражени-
ям. Чтобы избежать громоздких выражений, зависимости (19) и все
последующие зависимости определяли численно. Например, произ-
водная проекции радиуса-вектора поверхности на ось
x
находится по
формуле центральных разностей:
∂r
x
∂z
≈
r
x
(
z
+ Δ
z, s
)
−
r
x
(
z
−
Δ
z, s
)
2Δ
z
,
(20)
где
Δ
z
=
(
Pz
в
)
10
5
.
Коэффициенты второй квадратичной формы поверхности вычисля-
ли по формулам [6]:
L
=
∂
2
r
∂z
2
n
=
∂
2
r
x
∂z
2
n
x
+
∂
2
r
y
∂z
2
n
y
+
∂
2
r
z
∂z
2
n
z
;
M
=
∂
2
r
∂z
2
ds
n
=
∂
2
r
x
∂z∂s
n
x
+
∂
2
r
y
∂z∂s
n
y
+
∂
2
r
z
∂z∂s
n
z
;
N
=
∂
2
r
∂s
2
n
=
∂
2
r
x
∂s
2
n
x
+
∂
2
r
y
∂s
2
n
y
+
∂
2
r
z
∂s
2
n
z
.
(21)
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2006. № 1 69
