a
x
(
s
) =
r
cp
+
s
cos
α
−
s
2
sin
α
2
ρ
;
a
y
(
s
) =
s
sin
α
+
s
2
cos
α
2
ρ
sin
γ
;
a
z
(
s
) =
−
s
sin
α
+
s
2
cos
α
2
ρ
cos
γ.
(14)
В рассматриваемом случае координата
s
отсчитывается от точки
С
, лежащей на среднем радиусе (рис. 2,
б
).
В классической теории оболочек в простейшем случае в качестве
координатных линий используют линии кривизны, образующие орто-
гональную сеть на поверхности оболочки.
Для определения главных кривизн и главных направлений в нашей
задаче используем теорию оболочек, изложенную в работе [6].
Для геликоидальной поверхности выбор естественных координат
(
z
— осевая,
s
— контурная) приводит к косоугольным координатам.
Поэтому в геометрических соотношениях присутствует угол
χ
(
s
)
меж-
ду координатными линиями.
Коэффициенты первой квадратичной формы поверхности [6] мож-
но записать в виде
A
=
s
∂r
x
∂z
2
+
∂r
y
∂z
2
+
∂r
z
∂z
2
;
B
=
s
∂r
x
∂s
2
+
∂r
y
∂s
2
+
∂r
z
∂s
2
;
AB
cos
χ
=
∂r
x
∂r
x
∂z∂s
+
∂r
y
∂r
y
∂z∂s
+
∂r
z
∂r
z
∂z∂s
,
(15)
или с учетом выражений (12) как
A
=
q
ω
2
(
a
2
x
+
a
2
y
) + 1;
B
=
s
da
x
ds
2
+
da
y
ds
2
+
da
z
ds
2
;
AB
cos
χ
=
ω a
x
da
y
ds
−
a
y
da
x
ds
+
da
z
ds
.
(16)
Это значит, что все величины, входящие в уравнения (16), не содер-
жат переменной
z
, т.е представляют собой функции только переменной
s
, что является результатом геликоидальной симметрии.
68 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2006. № 1
