Используя это решение и учитывая равенства (11), (12), запишем ре-
шение задачи (8), (9) при
k
= 0
в изображениях сингулярного инте-
грального преобразования (10):
v
0
(
p, τ
) =
−
2
π
τ
Z
0
α
(
p, τ
)
α
(
p, y
) +
β
(
p, τ
)
β
(
p, y
)
α
2
(
p, y
) +
β
2
(
p, y
)
×
×
Bi
(
y
)
ζ
(
y
)
ν
2
(
y
)
exp
−
p
2
(
τ
−
y
)
ν
(
τ
)
ν
(
y
)
dy
;
τ
>
0
.
(16)
Аналитически замкнутая форма представления функции
u
0
(
X, τ
)
следует из равенства (16), если воспользоваться формулой обращения
интегрального преобразования (10):
u
0
(
X, τ
) =
V
−
1
[
v
0
(
p, τ
)];
τ
>
0
, X
>
1
,
(17)
где при любом фиксированном
τ
>
0
равенство понимается в смысле
стандартной нормы пространства
L
2
[1
,
+
∞
)
. Заметим, что при
ε
= 0
(
ν
(
τ
)
≡
1
) полученное решение для функции
u
0
(
X, τ
)
преобразуется
к известному [3] и определяет температурное поле неограниченного
твердого тела с цилиндрическим каналом единичного радиуса при
заданном режиме нестационарного теплообмена с внешней средой.
Последний однозначно устанавливается конкретизацией вида функции
Bi
(
τ
)
.
Сингулярное интегральное преобразование (10), применяемое по
пространственной переменной
X
, с последующим расщеплением его
ядра, позволяет найти функции
u
k
(
X, τ
)
при
k
>
1
в аналитически
замкнутом виде, т. е. определить искомое решение (7) с любой наперед
заданной степенью точности. При этом для любого
k
>
1
u
k
(
X, τ
) =
∞
Z
0
v
k
(
p, τ
)
K
(
X, p, τ
)
α
2
(
p, τ
) +
β
2
(
p, τ
)
p dp
;
τ
>
0
, X
>
1
,
(18)
где
v
k
(
p, τ
) =
τ
Z
0
α
(
p, τ
)
α
(
p, y
) +
β
(
p, τ
)
β
(
p, y
)
α
2
(
p, y
) +
β
2
(
p, y
)
×
×
Ψ
k
(
p, y
)
ν
2
(
y
)
exp
−
p
2
(
τ
−
y
)
ν
(
τ
)
ν
(
y
)
dy,
Ψ
k
(
p, τ
) =
V
[
f
k
(
X, τ
)]
≡
∞
Z
1
f
k
(
X, τ
)
H
(1)
0
(
pX
)
X dX,
36 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2006. № 1
