преобразуем исходную математическую модель (1), (2) к следующему
виду:
μ
(
τ
)
∂
Θ(
X, τ
)
∂τ
=
1
X
∂
∂X
X
∂
Θ(
X, τ
)
∂X
+
˙
μ
(
τ
)
2
X
∂
Θ(
X, τ
)
∂X
;
τ >
0
, X >
1
,
Θ(
X, τ
)
τ
=0
= 0
,
(5)
∂
Θ(
X, τ
)
∂X
X
=1
=
Bi
(
τ
) Θ(
X, τ
)
X
=1
−
ζ
(
τ
)
,
Θ(
X, τ
)
τ>
0
2
L
2
[1
,
+
∞
)
,
где
μ
(
τ
) =
ν
2
(
τ
)
≡
(1 +
ετ
)
2
,
˙
μ
(
τ
) = 2
ν
(
τ
) ˙
ν
(
τ
)
≡
2
ε
(1 +
ετ
)
.
(6)
Необходимо подчеркнуть, что решение задачи (5) связано с пре-
одолением трудностей принципиального характера. Они, в основном,
обусловлены функциональной зависимостью Bi
=
Bi
(
τ
)
, т. е. нестаци-
онарностью реализуемого режима теплообмена. Аналитический метод
решения рассматриваемой задачи (5), (6) известен лишь для ее част-
ной постановки (
ε
= 0
) и предложен в работе [3]. В основе метода
лежит идея расщепления ядра сингулярного интегрального преобра-
зования по пространственной переменной, являющегося обобщением
известного интегрального преобразования Вебера [10, 11].
Температурное поле.
С учетом сделанных предположений реше-
ние рассматриваемой задачи (5), (6) представим в виде разложения по
малому параметру
ε
:
Θ(
X, τ
) =
∞
X
k
=0
u
k
(
X, τ
)
ε
k
.
(7)
В этом случае для каждого
k
2 {
0
,
1
,
2
, . . .
}
функция
u
k
(
X, τ
)
удовле-
творяет следующей задаче:
μ
(
τ
)
∂u
k
(
X, τ
)
∂τ
=
1
X
∂
∂X
X
∂u
k
(
X, τ
)
∂X
+
0;
k
= 0
,
f
k
(
X, τ
)
, k
>
1
,
τ >
0
, X >
1
,
u
k
(
X, τ
)
τ
=0
= 0
,
(8)
∂u
k
(
X, τ
)
∂X
X
=1
=
Bi
(
τ
)
u
k
(
X, τ
)
X
=1
+
−
Bi
(
τ
)
ζ
(
τ
);
k
= 0
,
0;
k
>
1
,
u
k
(
X, τ
)
τ>
0
2
L
2
[1
,
+
∞
)
,
где
f
k
(
X, τ
) =
p
μ
(
τ
)
X
∂u
k
−
1
(
X, τ
)
∂X
;
k
>
1
.
(9)
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2006. № 1 33
