При этом справедливы тождества
V
∂u
0
(
X, τ
)
∂τ
≡
Re
ω
(
p, τ
)
dA
0
(
p, τ
)
dτ
,
V
1
X
∂
∂X
X
∂u
0
(
X, τ
)
∂X
≡ −
p
2
v
0
(
p, τ
)
−
2
π
Bi
(
τ
)
ζ
(
τ
) =
(13)
=
−
p
2
Re
{
ω
(
p, τ
)
A
0
(
p, τ
)
} −
2
π
Bi
(
τ
)
ζ
(
τ
)
.
Таким образом, согласно равенствам (10)–(12), решение задачи (8),
(9) при
k
= 0
найдено, если известна функция
A
0
(
p, τ
)
. В свою оче-
редь, согласно равенствам (8), (9) и (10)–(13) эта функция является
решением задачи Коши
Re
ω
(
p, τ
)
μ
(
τ
)
dA
0
(
p, τ
)
dτ
+
p
2
A
0
(
p, τ
) =
−
2
π
Bi
(
τ
)
ζ
(
τ
);
τ >
0
,
A
0
(
p,
0) = 0
.
(14)
В соответствии с исходными допущениями существует единствен-
ное решение
u
0
(
X, τ
)
задачи (8), (9) при
k
= 0
и, как следствие, со-
гласно равенствам (10), (11) существует единственная функция
v
0
(
p, τ
)
— изображение сингулярного интегрального преобразования (10) это-
го решения. Поэтому из равенства (12) следует, что любое решение
A
0
(
p, τ
)
задачи (13) позволяет найти искомое изображение
v
0
(
p, τ
)
. Из
вещественности функций Bi
(
τ
)
и
ζ
(
τ
)
следует, что задача Коши
ω
(
p, τ
)
μ
(
τ
)
dA
0
(
p, τ
)
dτ
+
p
2
A
0
(
p, τ
) =
−
2
π
Bi
(
τ
)
ζ
(
τ
);
τ >
0
,
A
0
(
p,
0) = 0
(15)
является частным случаем задачи Коши (14) и, как следствие, любое
ее решение — это решение задачи Коши (14).
Решение задачи Коши (15) может быть найдено стандартными ме-
тодами [13]:
A
0
(
p, τ
) =
−
2
π
τ
Z
0
Bi
(
y
)
ζ
(
y
)
ν
2
(
y
)
ω
(
p, y
)
|
ω
(
p, y
)
|
2
exp
−
p
2
(
τ
−
y
)
ν
(
τ
)
ν
(
y
)
dy
;
τ
>
0
,
где
ω
(
p, y
) =
α
(
p, y
)
−
iβ
(
p, y
)
,
|
ω
(
p, y
)
|
2
=
α
2
(
p, y
) +
β
2
(
p, y
)
.
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2006. № 1 35
