Для решения задач (8), (9) воспользуемся обобщенным интеграль-
ным преобразованием Вебера по пространственной переменной
X
[3]:
v
k
(
p, τ
) =
V
[
u
k
(
X, τ
)]
≡
∞
Z
1
u
k
(
X, τ
)
K
(
X, p, τ
)
X dX
;
k
>
0
,
u
k
(
X, τ
) =
V
−
1
[
v
k
(
p, τ
)]
≡
∞
Z
0
v
k
(
p, τ
)
K
(
X, p, τ
)
α
2
(
p, τ
) +
β
2
(
p, τ
)
p dp,
(10)
где
K
(
X, p, τ
) =
α
(
p, τ
)
J
0
(
pX
)
−
β
(
p, τ
)
Y
0
(
pX
)
,
α
(
p, τ
) =
Bi
(
τ
)
Y
0
(
p
) +
pY
1
(
p
)
,
β
(
p, τ
) =
Bi
(
τ
)
J
0
(
p
) +
pJ
1
(
p
)
,
J
ν
(
∙
)
и
Y
ν
(
∙
)
— функции Бесселя индекса
ν
первого и второго рода
соответственно. Важно заметить, что непосредственное применение
сингулярного интегрального преобразования (10) для нахождения ре-
шений задачи (8), (9) не представляется возможным, поскольку ядро
K
(
X, p, τ
)
этого интегрального преобразования зависит не только от
пространственной переменной
X
и параметра интегрального преобра-
зования
p
, но и от временн´ой переменной
τ
. Это, в частности, приводит
к тому, что
V
∂u
k
(
X, τ
)
∂τ
6
=
∂v
k
(
p, τ
)
∂τ
;
k
>
0
.
Нулевое приближение
u
0
(
X, τ
)
для функции (7) является реше-
нием задачи (8), (9) при
k
= 0
. Для его нахождения воспользуемся
известным приемом [12]. Вводя обозначения
A
0
(
p, τ
) =
∞
Z
1
u
0
(
X, τ
)
H
(1)
0
(
pX
)
X dX,
ω
(
p, τ
) =
α
(
p, τ
) +
iβ
(
p, τ
)
,
(11)
где
H
(1)
0
(
∙
)
— функция Ганкеля первого рода нулевого порядка, а функ-
ции
α
(
p, τ
)
и
β
(
p, τ
)
определены в равенстве (10), представим изо-
бражение
v
0
(
p, τ
)
оригинала
u
0
(
X, τ
)
в виде
v
0
(
p, τ
) =
Re
{
ω
(
p, τ
)
A
0
(
p, τ
)
}
.
(12)
34 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2006. № 1
