5 / 7
Для численной реализации уравнения (10) воспользуемся КЭ в ви-
де треугольников. В каждой точке КЭ потенциал
U
(
x
л
, y
л
)
определен
в локальной системе координат
O
л
x
л
y
л
по формуле
U
(
x
л
, y
л
) = (V)
{
ϕ
(
x
л
, y
л
)
}
= (V) [
C
]
{
X
(
x
л
, y
л
)
}
;
(11)
здесь
(V)
— вектор значений обобщенных координат КЭ,
{
ϕ
}
=
= [
C
]
{
X
(
x
л
, y
л
)
}
— вектор-функция формы.
Подставляя (11) в уравнение (10), получаем уравнения для каждого
КЭ:
([
K
]
кэ
−
λ
[
M
]
кэ
)
{
V
}
кэ
= 0
,
(12)
где
[
K
]
кэ
=
= [
C
]
" ZZ
S
кэ
∂
{
X
}
∂r
∂
{
X
}
T
∂r
+
{
X
} {
X
}
T
r
2
+
∂
{
X
}
∂z
∂
{
X
}
T
∂z
!
r dr dz
#
[
C
]
T
,
[
M
]
кэ
= [
C
]
Z
Γ
кэ
{
X
} {
X
}
T
rdr
[
C
]
T
.
(13)
Объединяя все КЭ в ансамбль, имеем задачу на собственные зна-
чения:
([
K
]
−
λ
[
M
])
{
V
}
= 0
.
(14)
Результаты вычислений собственных значений одноузловых неосе-
симметричных колебаний первой и второй задачи методом Трефтца
при
N
= 10
и методом КЭ приведены в табл. 1 и 2.
Таблица 1
Собственные значения первого и второго тонов колебаний жидкости
в сферической емкости, дно которой выполнено в виде части сферы
(
R
1
=
R
01
/R
0
= 1)
h
=
h
∗
R
0
H
1
=
H
∗
1
R
0
Метод Ритца
МКЭ
МКЭ
λ
(1)
11
λ
(2)
11
λ
(1)
λ
(2)
λ
(1)
0
λ
(2)
0
0,3
1,8
0,8250 5,3091 0,8259 5,3490 1,1121 5,9754
0,6
1,8
1,2037 5,3331 1,2038 5,3730 1,2621 5,4068
1,7
1,8
3,1638 9,1396 3,1664 7,9906 3,1686 7,9983
0,3
1,9
1,0514 5,7804 1,0509 5,8435 1,1121 5,9754
0,8
1,9
1,3865 5,2394 1,3863 5,2765 1,3922 5,2749
1,1
1,9
1,6623 5,3599 1,6626 5,3961 1,6649 5,3976
0,5
1,7
0,9751 5,2563 0,9757 5,2879 1,2072 5,5438
1,2
1,7
1,7668 5,4954 1,7674 5,5344 1,7887 5,5367
88 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2015. № 2