4 / 7
θ
H
2
=
π
−
arccos
p
H
2
2
−
R
2
2
H
2
!
, H
21
=
H
2
−
R
2
sin
θ
H
2
,
r
21
=
−
H
2
cos
θ
−
q
R
2
2
−
H
2
2
sin
2
θ,
r
22
=
−
H
2
cos
θ
+
q
R
2
2
−
H
2
2
sin
2
θ, θ
21
= arccos
−
H
2
−
r
21
cos
θ
R
2
,
θ
22
= arccos
−
H
2
−
r
22
cos
θ
R
2
,
оператор
A
Γ
=
∂
∂R
−
sin
θ
h
−
1
∂
∂θ
,
U
Γ
означает, что в выражении для
U
надо положить
R
=
h
−
1
cos
θ
, a
U
S
1
,
U
S
2
,
U
S
21
,
U
S
22
означает, что
R
= 1
,
R
=
r
2
,
R
=
r
21
,
R
=
r
22
, соответственно.
Представим функцию
U
(
r, θ
)
в виде
U
(
R, θ
) =
N
X
n
=1
a
n
R
n
P
m
n
(cos
θ
) =
N
X
n
=1
a
n
U
n
,
(6)
где
N
— порядок приближения решений. В качестве координатных
функций были взяты
U
n
=
R
n
P
m
n
(cos
θ
)
,
n
= 1
,
2
,
3
. . .
,
P
m
n
(cos
θ
)
—
присоединенные функции Лежандра степени
m
.
Подставляя ряд (6) в функционалы (4) и (5), получаем
F
(
a
1
, a
2
, . . . , a
N
) =
N
X
n, k
=1
p
nk
a
n
a
k
−
λ
N
X
n, k
=1
q
nk
a
n
a
k
.
(7)
Из условий экстремума функционалов
F
получаем характеристи-
ческие уравнения для определения собственных значений
|
p
nk
−
λq
nk
|
N
n, k
=1
= 0
.
(8)
Решение задач методом конечных элементов (МКЭ).
Перепи-
шем вариационную формулировку (2) в следующем виде:
Z
τ
∇
Φ
∙ ∇
δ
Φ
dτ
−
λ
Z
γ
0
Φ
δ
Φ
dγ
= 0
.
(9)
Подставляя (3) в (9) и используя цилиндрическую систему коорди-
нат
r, η, z
, получаем уравнение
ZZ
S
τ
∂U
∂r
∂δU
∂r
+
UδU
1
r
2
+
∂U
∂z
∂δU
∂z
r dr dz
−
λ
Z
L
0
U δU r dr
= 0
,
(10)
где
S
τ
— главное меридианное сечение;
L
0
— линия пересечения глав-
ного меридианного сечения со свободной поверхностью.
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2015. № 2 87