и соответствующие им собственные функции
X
n
(
x
) = cos(
μ
n
x
−
β
n
)
, β
n
= arctg
θ
λ μ
n
,
Y
m
(
y
) = cos(
ν
m
y
−
γ
m
)
, γ
m
= arctg
θ
λ ν
m
,
Z
k
(
z
) = cos(
ω
k
z
)
.
(5)
В итоге для уравнения
(3)
находим собственные значения
d
nmk
=
μ
2
n
+
ν
2
m
+
ω
2
k
(6)
и собственные функции
υ
nmk
(
x, y, z
) = cos(
μ
n
x
−
β
n
) cos(
ν
m
y
−
γ
m
) cos(
ω
k
z
)
.
Общее решение уравнения
(1)
запишем в виде тройного тригономе
-
трического ряда
T
(
x, y, z, τ
) =
=
∞
X
n
=0
∞
X
m
=0
∞
X
k
=0
C
nmk
e
−
d a τ
cos(
μ
n
x
−
β
n
) cos(
ν
m
y
−
γ
m
) cos(
ω
k
z
)
.
(7)
В соответствии с теоремой Стеклова
[4]
коэффициент
C
nmk
можно
определить по следующей формуле
:
C
nmk
=
l
Z
0
b
Z
0
h
Z
0
T
0
cos(
μ
n
x
−
β
n
) cos(
ν
m
y
−
γ
m
) cos(
ω
k
z
)
dx dy dz
l
Z
0
b
Z
0
h
Z
0
cos
2
(
μ
n
x
−
β
n
) cos
2
(
ν
m
y
−
γ
m
) cos
2
(
ω
k
z
)
dx dy dz
,
после соответствующих преобразований окончательно получим
C
nmk
= 32
T
0
sin(0
,
5
μ
n
l
) cos(0
,
5
μ
n
l
−
β
n
)
μ
n
l
+ sin(
μ
n
l
) cos(
μ
n
l
−
2
β
n
)
×
×
sin(0
,
5
ν
m
b
) cos(0
,
5
ν
m
b
−
γ
m
)
ν
m
b
+ sin(
ν
m
b
) cos(
ν
m
b
−
2
γ
m
)
∙
sin(
ω
k
h
)
ω
k
h
+ 0
,
5 sin( 2
ω
k
h
)
.
(8)
Если температура окружающей среды
T
e
не равна нулю
,
то необхо
-
дима замена переменной
T
1
=
T
−
T
e
.
В дальнейшем под
T
(
x, y, z, τ
)
ISSN 0236-3941.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Машиностроение
”. 2005.
№
3 91
