решение уравнения
(1)
в виде произведения
T
(
x, y, z, τ
) =
X
(
x
)
Y
(
y
)
Z
(
z
)
U
(
τ
)
.
(2)
Подставляя выражение
(2)
в уравнение
(1),
после разделения пере
-
менных получим
1
a
U
0
U
=
X
00
X
+
Y
00
Y
+
Z
00
Z
=
−
d,
(3)
где
d
=
const.
Отсюда находим уравнение для функции
U
(
τ
)
:
U
0
(
τ
) +
d aU
(
τ
) = 0
,
общее решение которого имеет следующий вид
:
U
(
τ
) =
C e
−
d a τ
,
где
C
—
произвольная постоянная
.
С учетом граничных условий имеем три задачи Штурма
–
Лиувилля
:
X
00
+
μ
2
X
= 0
,
X
0
(0)
−
θ
λ
X
(0) = 0
,
X
0
(
l
) +
θ
λ
X
(
l
) = 0
,
Y
00
+
ν
2
Y
= 0
,
Y
0
(0)
−
θ
λ
Y
(0) = 0
,
Y
0
(
b
) +
θ
λ
Y
(
b
) = 0
,
Z
00
+
ω
2
Z
= 0
,
Z
0
(0) = 0
,
Z
0
(
h
) +
θ
λ
Z
(
h
) = 0
,
которые имеют следующие собственные значения
:
ctg(
l μ
n
) =
λ
2
θ
μ
n
1
−
θ
2
λ
2
μ
2
n
,
ctg(
b ν
m
) =
λ
2
θ
ν
m
1
−
θ
2
λ
2
ν
2
m
,
ctg(
h ω
k
) =
λ
θ
ω
k
,
(4)
90 ISSN 0236-3941.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Машиностроение
”. 2005.
№
3
