t
S
22
=
G
1
−
t
C
11
/
t
J
2
+
1
2
Λ 1
−
1
/
t
J
2
t
C
11
,
t
S
12
=
G
t
C
12
/
t
J
2
−
1
2
Λ(1
−
1
/
t
J
2
)
t
C
12
,
t
S
33
=
1
2
Λ(
t
J
2
−
1)
.
Дифференцируя выражения для напряжений по компонентам тен-
зора деформаций, найдем касательные модули упругости
t
E
1111
= (2
G
+Λ)(
t
C
22
/
t
J
2
)
2
,
t
E
1122
=
t
E
2211
= Λ+(2
G
+Λ)(
t
C
12
/
t
J
2
)
2
,
t
E
1112
=
t
E
1121
=
t
E
1211
=
t
E
2111
=
−
(2
G
+ Λ)(
t
C
12
t
C
22
/
t
J
4
)
,
t
E
2222
= (2
G
+ Λ)(
t
C
11
/
t
J
2
)
2
,
t
E
2212
=
t
E
2221
=
t
E
1222
=
t
E
2122
=
−
(2
G
+ Λ)(
t
C
12
t
C
11
/
t
J
4
)
,
t
E
1212
=
t
E
1221
=
t
E
2112
=
t
E
2121
=
=
G
+
1
2
Λ (
t
C
11
t
C
22
+
t
C
2
12
)
/
t
J
4
−
1
2
Λ
,
из которых составим симметричную матрицу касательных модулей
t
E
=
t
E
1111
t
E
1122
t
E
1112
t
E
2211
t
E
2222
t
E
2212
t
E
1211
t
E
1222
t
E
1212
.
Переходя к матричной записи уравнений, принятой в МКЭ, предста-
вим связь приращений напряжений и деформаций в виде
d
{
t
S
}
= [
t
E
]
d
{
t
ε
}
,
где
{
t
S
}
=
{
t
S
11
t
S
22
t
S
12
}
,
{
t
ε
}
=
{
t
ε
11
t
ε
22
2
t
ε
12
}
— векторы-
столбцы.
Из линеаризованного уравнения виртуальных работ (2) в резуль-
тате конечно-элементной дискретизации следуют уравнения МКЭ для
шага нагружения [4]:
[
t
K
L
] + [
t
K
NL
] Δ
{
q
}
=
{
t
+Δ
t
P
}
ext
− {
t
P
}
int
,
(8)
где
Δ
{
q
}
— искомый вектор приращений узловых перемещений;
[
t
K
L
]
,
[
t
K
NL
]
— матрицы тангенциальной жесткости конструкции при линей-
ных (
Δe
) и нелинейных (
Δ
η
) деформациях соответственно;
{
t
+Δ
t
P
}
ext
и
{
t
P
}
int
— векторы внешних и внутренних узловых сил.
Независимо от типа используемого конечного элемента общий вид
матриц, входящих в уравнение (8), таков:
[
t
K
L
] =
Z
0
V
[
t
B
L
]
т
[
t
E
][
t
B
L
]
d
0
V ,
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011. № 2 61
