В качестве основного уравнения задачи равновесия рассмотрим
уравнение принципа виртуальных работ, записанное в отсчетной кон-
фигурации:
Z
0
V
t
S :
δ
t
ε d
0
V
=
δ
t
W
ext
,
(1)
где
t
S
— второй тензор напряжений Пиолы–Кирхгофа;
0
V
— объем
тела в недеформированном состоянии;
δ
t
W
(
ext
)
— виртуальная работа
внешних сил; символ
:
обозначает двойное скалярное произведение
тензоров.
В соответствии с идеей инкрементального метода предполагается,
что на малом шаге нагружения
t, t
+Δ
t
малыми являются приращения
компонент тензора напряжений и тензора деформаций
ΔS =
t
+Δ
t
S
−
t
S
,
Δ
ε
=
t
+Δ
t
ε
−
t
ε
;
связь между ними может быть линеаризована:
ΔS = E : Δ
ε,
где
E
— тензор секущих модулей упругости для рассматриваемого
шага нагружения.
В первом приближении секущие модули упругости заменяются ка-
сательными модулями
E
≈
t
E =
∂
t
S
∂
t
ε
.
Для шага нагружения
Δ
t
проводится линеаризация уравнения (1) в
окрестности предположительно известного состояния
t
по отношению
к малым приращениям перемещений
Δ
u
i
=
t
+Δ
t
x
i
−
t
x
i
(
i
= 1
,
2)
.
Линеаризованное уравнение виртуальных работ имеет вид [4]
Z
0
V
(
t
E : Δe) :
δ
Δe
d
0
V
+
Z
0
V
t
S :
δ
Δ
ηd
0
V
=
=
δ
t
+Δ
t
W
ext
−
Z
0
V
t
S :
δ
Δe
d
0
V,
(2)
где
Δe
,
Δ
η
— соответственно линейная и квадратичная относительно
приращений перемещений части тензора
Δ
ε
= Δe + Δ
η
с компонен-
тами
Δ
e
ij
=
1
2
(Δ
u
i,j
+ Δ
u
j,i
+
t
u
k,i
Δ
u
k,j
+
t
u
k,j
Δ
u
k,i
)
,
Δ
η
ij
=
1
2
Δ
u
k,i
Δ
u
k,j
.
Отметим, что уравнение (2) составлено для того случая нагруже-
ния, когда внешние силы не зависят от перемещений, и поэтому не воз-
никает задачи линеаризации выражения виртуальной работы внешних
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011. № 2 57
