которого упругий потенциал имеет вид [6]
t
W
(
t
I
1
c
,
t
J
) =
1
2
G
(
t
I
1
c
−
3) +
1
4
Λ(
t
J
2
−
1)
−
1
2
Λ +
G
ln
t
J,
(4)
где
G,
Λ
— постоянные упругости материала;
t
I
1
c
— первый инвариант
тензора меры деформаций
t
C
.
Исходя из упругого потенциала (4), можно получить выражение
для тензора напряжений Пиолы–Кирхгофа
t
S = 2
∂
t
W
∂
t
C
=
G
(I
−
t
C
−
1
) +
1
2
Λ(
t
J
2
−
1)
t
C
−
1
,
(5)
где
t
C
−
1
— тензор, обратный к тензору меры деформаций.
Запишем соотношения упругости (5) в осях главных деформаций
в компонентной форме:
S
1
=
G
1
−
λ
−
2
1
+
1
2
Λ
J
2
−
1
λ
−
2
1
(1
→
2
→
3)
,
(6)
где
λ
1
,
λ
2
,
λ
3
— кратности удлинений;
J
=
λ
1
λ
2
λ
3
; левый верхний знак
t
, указывающий значение параметра нагружения, опущен.
Истинные главные напряжения выражаются через напряжения
Пиолы–Кирхгофа (6)
σ
1
=
λ
1
λ
2
λ
3
S
1
=
GJ
−
1
(
λ
2
1
−
1) +
1
2
Λ(
J
−
J
−
1
) (1
→
2
→
3)
.
(7)
При малых деформациях соотношения упругости (7) переходят в за-
кон Гука, постоянные упругости материала
G,
Λ
принимают смысл
постоянных Ламе. Чтобы oхарактеризовать жесткость материала при
объемной деформации, введем параметр
β
= Λ
/
2
G
. Отметим, что в
пределах малых деформаций, подчиняющихся закону Гука, значение
параметра
β
связано со значением коэффициента Пуассона
ν
соотно-
шением
β
=
ν/
(1
−
2
ν
)
.
Для иллюстрации выбранного закона связи напряжений и деформа-
ций рассмотрим примеры простейших типов напряженного состояния.
В случае одноосного напряженного состояния, исходя из условия
σ
2
=
σ
3
= 0
, можно получить сначала кратности удлинений в попе-
речных направлениях
λ
2
2
=
λ
2
3
=
1
2
βλ
2
1
q
1 + 4
β
(
β
+ 1)
λ
2
1
−
1
,
а затем зависимость
σ
1
(
λ
1
)
. На рис. 2,
а
показаны графики этой за-
висимости при значениях параметра
β
= 4
,
5
(коэффициент Пуассона
ν
= 0
,
45)
и
β
= 49
,
5
(
ν
= 0
,
495)
. Здесь же приведены графики измене-
ния условного напряжения, т.е. напряжения, отнесенного к начальной
площади. Напряжения выражены в долях параметра упругости
G
. Как
и следовало ожидать, при одноосном напряженном состоянии влияние
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011. № 2 59
