для рассматриваемой задачи (1) выполнены все условия теоремы су-
ществования и единственности [9]; поиск решения задачи (1) аналити-
ческими методами связан с преодолением тех же трудностей принци-
пиального характера, что и при решении многомерных задач фрикци-
онного нагрева полупространства движущимся тепловым источником
(режим трения скольжения) [6].
Метод решения.
Для нахождения аналитического решения исход-
ной задачи (1) воспользуемся смешанным интегральным преобразова-
нием Фурье с параметром
s
2
R
[6], применяемым по пространствен-
ной переменной
Z
:
U
(
ρ, s, τ
) = Φ[Θ(
ρ, Z, τ
)]
≡
≡
∞
Z
0
Θ(
ρ, Z, τ
) cos(
sZ
) +
φ
(
τ, ρ
)
s
sin(
sZ
)
dZ
;
Θ(
ρ, Z, τ
) = Φ
−
1
[
U
(
ρ, s, τ
)]
≡
≡
2
π
∞
Z
0
U
(
ρ, s, τ
) cos(
sZ
) +
φ
(
τ, ρ
)
s
sin(
sZ
)
s
2
s
2
+
φ
2
(
τ, ρ
)
ds.
(3)
Поскольку ядро сингулярного интегрального преобразования (3)
K
(
ρ, Z, s, τ
) = cos(
sZ
) +
φ
(
τ, ρ
)
s
sin(
sZ
)
зависит не только от пространственной переменной
Z
и параметра ин-
тегрального преобразования
s
, но и от пространственной переменной
ρ
и времени
τ
, то непосредственное его применение для нахождения
решения задачи (1) не представляется возможным, так как, в частно-
сти,
Φ
∂
Θ(
ρ, Z, τ
)
∂τ
6
=
∂
∂τ
Φ [Θ(
ρ, Z, τ
)]
,
где
Φ [
∙
]
— оператор прямого интегрального преобразования (3).
Для преодоления возникших трудностей воспользуемся следую-
щим приемом [6–8]. Вводя обозначения
A
(
ρ, s, τ
) =
∞
Z
0
Θ(
ρ, Z, τ
) exp(
i s Z
)
dZ,
ω
(
ρ, s, τ
) = 1
−
i s
−
1
φ
(
τ, ρ
)
,
(4)
изображение
U
(
ρ, s, τ
)
сингулярного интегрального преобразования
(3) представим в виде
U
(
ρ, s, τ
) = Re
{
ω
(
ρ, s, τ
)
A
(
ρ, s, τ
)
}
.
(5)
38 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2006. № 2
