∂
Θ
∂τ
=
1
ρ
∂
∂ρ
ρ
∂
Θ
∂ρ
+
∂
2
Θ
∂Z
2
, ρ
>
0
, Z >
0
, τ >
0;
Θ (
ρ, Z, τ
)
|
τ
=0
= 0;
∂
Θ(
ρ, Z, τ
)
∂Z
Z
=0
=
−
φ
(
τ, ρ
) (1
−
Θ (
ρ, Z, τ
)
|
Z
=0
) ;
Θ(
ρ, Z, τ
)
τ>
0
ρ
>
0
2
L
2
[0
,
+
∞
)
,
(1)
где последнее условие является требованием интегрируемости с ква-
дратом функции
Θ(
ρ, Z, τ
)
по пространственной переменной
Z
2
[0
,
+
+
∞
)
при любых фиксированных
ρ
>
0
и
τ >
0
; функции
Θ(
ρ, Z, τ
)
и
φ
(
τ, ρ
)
как функции
ρ
являются оригиналами интегрального пре-
образования Ганкеля нулевого порядка [2] при любых фиксированных
Z >
0
и
τ >
0
, что соответствует физически очевидным условиям
симметрии;
lim
ρ
→
+0
ρ
∂
Θ(
ρ, Z, τ
)
∂ρ
= 0 = lim
ρ
→
+
∞
ρ
∂
Θ(
ρ, Z, τ
)
∂ρ
;
ρ
=
r
z
;
Z
=
z
z
;
τ
=
t
t
; Θ =
T
−
T
0
T
m
−
T
0
;
R
=
b
z
;
z
=
√
at
;
t
=
a
[
q
−
1
0
cγ
(
T
m
−
T
0
)]
2
;
φ
(
τ, ρ
)
|
ρ/
2
g
≡
0;
z
— пространственная переменная;
z
— выбранная единица масшта-
ба [6];
T
m
— температура плавления;
γ
,
c
,
a
— соответственно плот-
ность, теплоемкость и коэффициент температуропроводности матери-
ала полупространства; индекс 0 относится к начальным значениям
величин.
Реализуемый режим фрикционного теплообразования в области
g
термического контакта однозначно задается функцией
φ
(
τ, ρ
)
, которая
по смыслу решаемой задачи является неотрицательной и как функция
τ
удовлетворяет условиям Гельдера [9]. В случае [4, 5] трения вер-
чения с постоянной угловой скоростью (
ω
(
t
)
≡
ω
0
−
const) при не
изменяющемся во времени диаметре области
g
термического контакта
функция
φ
(
τ, ρ
)
≡
φ
(
ρ
) =
ρ
R
[
η
(
ρ
)
−
η
(
ρ
−
R
)]
,
(2)
где
η
(
∙
)
— функция Хевисайда [2].
Следует подчеркнуть, что условия, накладываемые на функцию
φ
(
τ, ρ
)
, не являются жесткими и соответствуют реально существую-
щим режимам теплообразования на локальном термическом контакте;
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2006. № 2 37
