Рассмотрим применение МГИУ для решения задачи (2)–(4) в пер-
вой постановке [5, 9, 11, 13].
Функция
Т
=
Т
(
х
,
у
)
, непрерывная со своими производными до
второго порядка, удовлетворяющая уравнению Лапласа в рассматри-
ваемой области, включая ее контур
γ
=
M
S
i
=0
γ
i
, является гармонической.
Следствием интегральной формулы Грина для исследуемой гармони-
ческой функции
Т
=
Т
(
х
,
у
)
является соотношение
T
(
x, y
) =
1
2
π
I
γ
T
γ
∂
(ln
R
)
∂n
−
ln
R
∂T
γ
∂n
ds,
(5)
где
R
— переменное при интегрировании расстояние между точкой
K
(
х
,
у
)
и “бегущей” по контуру точкой
k
;
Т
γ
— температура на кон-
туре
γ
. Значение температуры в некоторой
k
-й точке, лежащей на
границе, получается как предельное при приближении точки
K
(
х
,
у
)
к границе:
T
=
T
k
=
1
2
π
I
γ
T
γ
∂
(ln
R
k
)
∂n
ds
−
I
γ
∂T
γ
k
∂n
ln
R
k
ds
.
(6)
С учетом введенных граничных условий (3)–(4), после приведе-
ния подобных членов и ввода новых коэффициентов, соотношение
(6) можно представить в виде линейного алгебраического уравнения,
вычисляемого для точки
k
:
ϕ
k
1
T
γ
01
+
ϕ
k
2
T
γ
02
+
. . .
+
ϕ
kn
T
γ
0
m
−
ϕ
kγ
0
T
0
−
ϕ
kγ
i
T
i
−
2
πT
k
= 0
,
(7)
где
n
— количество участков разбиения наружного контура лопатки
`
γ
0
(
`
γ
i
при
i
= 0
) на малые отрезки
Δ
S
0
(
Δ
S
i
при
i
= 0
),
m
— количество
участков разбиения наружных контуров всех охлаждающих каналов
`
γ
i
(
i
= 1
, M
)
на малые отрезки
Δ
S
i
.
Заметим, что неизвестными в уравнении (7), кроме искомого ис-
тинного значения
T
k
в точке
k
, являются также средние на отрезках
разбиения контуров
Δ
S
0
и
Δ
S
i
температуры
T
γ
01
,
T
γ
02
, . . . , T
γ
0
n
, . . . , T
γ
i m
(общим числом
n
+
m
)
.
Из соотношения (7) получим искомую температуру для любой точ-
ки, пользуясь формулой (5):
T
(
x, y
) =
1
2
π
[
ϕ
k
1
T
γ
01
+
ϕ
k
2
T
γ
02
+
. . .
+
ϕ
kn
T
γ
0
n
+
. . .
+
ϕ
km
T
γ
im
−
ϕ
kγ
0
T
cp
0
−
ϕ
kγ
i
T
cp
i
]
,
(8)
где
104 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2007. № 3
