В классической постановке дифференциальное уравнение тепло-
проводности, описывающее в общем случае нестационарный процесс
распространения теплоты в многомерной области (уравнение Фурье–
Кирхгофа), имеет вид [5, 10–12]
∂
(
ρC
v
T
)
∂t
=
div
(
λ
grad
T
) +
q
v
,
(1)
где
ρ
,
C
v
и
λ
—- соответственно плотность, теплоемкость и теплопро-
водность материала;
q
v
— внутренний источник теплоты;
T
— искомая
температура. В двумерной постановке при постоянных физических
свойствах и отсутствии внутренних источников (стоков) теплоты, тем-
пературное поле при стационарных условиях будет зависеть только от
формы тела и от распределения температуры на его контуре (границах)
[10–13]. В этом случае уравнение (1) будет иметь вид
Δ
T
=
∂
2
T
∂x
2
+
∂
2
T
∂y
2
= 0
.
(2)
Для определения конкретных температурных полей в элементах
газовых турбин чаще задают граничные условия третьего рода, ха-
рактеризующие теплообмен между телом и окружающей средой на
основе гипотезы Ньютона–Римана [10–13]:
α
0
(
T
0
−
T
γ
0
) =
λ
∂T
γ
0
∂n
;
(3)
−
λ
∂T
γ
i
∂n
=
α
i
(
T
γ
i
−
T
i
);
(4)
здесь
T
0
— температура среды
T
i
при
i
= 0
, где
i
— число контуров,
i
= 0
, M
(при температуре газа, омывающего лопатку);
T
i
— темпе-
ратура охладителя при
i
= 1
,
М
;
Т
γ
0
и
Т
γ
i
— температура на контуре
Т
γ
i
при
i
= 0
(наружный контур лопатки) и при
i
= 1
,
М
(контур
охлаждающих каналов);
α
0
и
α
i
— коэффициенты теплоотдачи газа
к поверхности лопатки (при
i
= 0
) и лопатки к охлаждающему воз-
духу (при
i
= 1
,
М
)
;
λ
— коэффициент теплопроводности материала
лопатки;
n
— внешняя нормаль на контуре исследуемой области.
Краевая задача (2)–(4) решается с применением таких численных
методов, как метод конечных разностей (МКР), метод конечных эле-
ментов (МКЭ), метод граничных интегральных уравнений (МГИУ)
(или его дискретный аналог — метод граничных элементов МГЭ), ве-
роятностный метод или метод Монте-Карло и вариационный метод
Треффттца (Спэрроу) [2, 3, 5, 9, 10, 12].
Из перечисленных численных методов эффективным считается
МГИУ (или метод теории потенциала — МТП), хорошо зарекомен-
довавший себя при исследовании многосвязных областей сложной
конфигурации и имеющий ряд преимуществ [4–5, 9, 14].
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2007. № 3 103
