В процессе минимизации с использованием квазиньютоновско-
го алгоритма на каждой итерации требуются вычисления градиента
функции
ΔΦ(Θ
n
)
. Компоненты градиента функции (26) вычисляются
по формуле
δ
Φ
/δϑ
1
= 2
N
k
=1
(
Y
k
−
Y
k
(
t
k
,
Θ))
т
δY
k
(
t
k
,
Θ)
/δϑ
1
,
(28)
где
δY
k
(
t
k
,
Θ)
/δϑ
1
— производные решений уравнений (1)–(5), (18),
(20) по
ϑ
1
, которые называются функциями чувствительности [8].
Применение алгоритма (23)–(25) к системе (22) и функциям чув-
ствительности
Y
t,
Θ
=
f
Y
Y
Θ
+
f
Θ
;
Y
Θ
(Θ) = 0
,
(29)
требует вычисления на каждом шаге системы уравнений размера
S
×
×
(
r
+ 1)
.
В системе (29)
f
Y
— матрица первых частных производных
f
по
Y
размера
S
×
S
;
f
Θ
— матрица первых частных производных
f
по
Θ
размера
S
×
r
. Матрица системы (29) содержит на главной диагонали
блоки
I
−
ahf
Y
, а в первых
S
столбцах находятся элементы, включаю-
щие в себя производные
f
Y,Y
и
f
Y,
Θ
;
f
Y,Y
— матрица первых частных
производных по
Y
элементов матрицы
f
Y
размера
S
×
S
×
S
;
f
Y,
Θ
—
матрица первых частных производных по
Θ
элементов матрицы
f
Y
размером
S
×
S
×
r
.
Вычисления функций чувствительности на одном шаге численного
интегрирования предлагается проводить следующим образом. Пусть
на шаге
n
получены
Y
n
,
Y
Θ
,n
— решения систем (22), (29). Вычислив
Y
n
+1
с помощью алгоритма (23)–(25), используем
K
Y
Θ
1
,
K
Y
Θ
2
для полу-
чения функций чувствительности на следующем шаге:
Y
Θ
,n
+1
=
Y
Θ
,n
+
aK
Y
Θ
1
+ (1
−
a
)
K
Y
Θ
2
, a
= 1
−
1
/
√
2;
(30)
(
I
−
a hf
Y
)
K
Y
Θ
1
=
h
(
f
Y
(
Y
n
+
aK
Y
Θ
1
, t
n
+
ah,
Θ)
Y
Θ
,n
+
+
f
e
(
Y
n
+
aK
Y
Θ
1
, t
n
+
ah,
Θ));
(31)
(
I
−
ahf
Y
)
K
Y
Θ
2
=
h
(
f
Y
(
Y
n
+
a
(
K
Y
Θ
1
+
K
Y
Θ
2
)
, t
n
+
ah,
Θ)(
Y
Θ
,n
+
K
Y
Θ
1
)+
+
f
e
(
Y
n
+
a
(
K
Y
Θ
1
+
K
Y
Θ
2
)
, t
n
+
ah,
Θ));
(32)
Доверительные области оцениваемых коэффициентов модели
определяли по методике, приведенной в работе [9].
Проверку адекватности построенной модели предлагается осуще-
ствлять, сопоставляя остатки, т.е. разности измеренных значений па-
10 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2010. № 3
