узлах заданной сетки на отрезке
[0
,
(
L
cv,mt
+
L
cv,ins
)]
. Полученные та-
ким образом обыкновенные дифференциальные уравнения (1)–(5) для
обшивки, уравнения (18) и (20) для элемента отсека и воздуха со-
ставляют одну систему обыкновенных дифференциальных уравнений,
которую в общем виде можно записать следующим образом:
Y
t
=
f
(
Y , t,
Θ)
, t
∈
(0
, T
t
)
,
Y
t
(0
,
Θ) =
Y
0
, f, Y
∈
R
s
,
Θ
∈
R
r
,
(22)
где
Y
= [
T
1
, T
2
, T
i
, T
air
, . . .
]
т
— вектор температур;
Θ = [
ϑ
1
]
r
l
=1
— вектор
коэффициентов модели.
Вычисление температур
Y
проводится по алгоритму [5], основан-
ному на применении метода Розенброка второго порядка аппроксима-
ции [6]. Вычисление системы (22) на одном шаге численного интегри-
рования проводится следующим образом:
Y
n
+1
=
Y
n
+
aK
Y
1
+ (1
−
a
)
K
Y
2
, a
= 1
−
1
/
√
2;
(23)
(
I
−
ahf
Y
)
K
Y
1
=
hf
(
Y
n
, t
n
+
ah,
Θ);
(24)
(
I
−
ahf
Y
)
K
Y
2
=
hf
(
Y
n
+
aK
Y
1
, t
n
+ 2
h,
Θ)
,
(25)
где
h
— шаг интегрирования, в общем случае выбирается из расче-
та требуемой точности интегрирования;
f
Y
— матрица Якоби системы
(22);
K
Y
1
,
K
Y
2
— вспомогательные векторы. Они определяются из урав-
нений (24) и (25).
Оценка коэффициентов модели выполняется путем минимизации
суммы квадратов невязок между измеренными в ходе эксперимента
значениями температур
Y
и соответствующими значениями темпера-
тур
Y
(
t,
Θ)
, полученными в результате расчетов по уравнениям моде-
лей:
Φ(Θ) =
N
k
=1
(
Y
k
−
Y
k
(
t
k
,
Θ))
т
(
Y
k
−
Y
k
(
t
k
,
Θ))
,
(26)
где
t
k
— моменты времени при
k
= 1
, . . . , N
.
Для минимизации функции (26) применяется квазиньютоновский
метод, согласно которому очередное направление поиска
Θ
n
опреде-
ляется из системы уравнений
β
n
S
n
=
−
ΔΦ(Θ
n
)
,
(27)
где
β
n
— оценка матрицы Гессе вторых частных производных в точке
Θ
n
;
S
n
— параметр, указывающий направление поиска вектора
Θ
0
дей-
ствительных значений коэффициентов
Θ
;
ΔΦ(Θ
n
)
— градиентфунк-
ции
Φ
.
Матрицы Гессе вторых частных производных в этом алгоритме
оцениваются по формуле Бройдена–Флетчера–Гольдфарба–Шэнно [7].
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2010. № 3 9
