Однородные функции операторной переменной - page 3

Релаксация осуществляется при α = −1 по уравнению
N = N (0)e−cΩ .
Условие Ω ∗ = 1/c определяет время релаксации [1] без начальных
значений N (0).
Когда n < 1, решение
N = N (0) 1 +
αc (1 − n)
N (0)1 −n Ω
1
1−n
распадается на две интегральные кривые:
N1 = N (0) 1 −
c (1 − n)
N (0)1−n Ω
1
1−n
(α = −1)
и
N 2 = N (0) 1 +
c (1 − n)
N (0)1−n Ω
1
1−n
(α = 1) ,
причем N1 представляет собой затухающее решение в конечное время
Ω(1)
∗ =
N (0)1−n
c (1 − n)
.
В случае если n > 1, также имеем две интегральные кривые
N 3 = N (0) 1 + c (n − 1) N (0)n−1 Ω − 1
n−1 (α = −1)
и
N 4 = N (0) 1 − c (n − 1) N (0)n−1 Ω − 1
n−1 (α = 1) .
В последнем случае происходит “катастрофа” с асимптотическим
значением координаты времени:
Ω (4)
∗ =
1
с (n − 1) N (0)n−1 .
Формулы для определения N (ω ) находим как собственные функ-
ции уравнения состояния (1). Учитывая симметрию, можно предста-
вить существование еще четырех, так называемых сопряженных функ-
ций, не удовлетворяющих условию однородности, а именно: при n < 1
¯
N 1 = N (0) 1 − c (1 − n)
N (0)1−n Ω
− 1
1−n
,
¯
N 2 = N (0) 1 +
c (1 − n)
N (0)1−n Ω
− 1
1−n
и при n > 1
¯
N 3 = N (0) 1 + c (n − 1) N (0)n−1 Ω
1
n−1 ,
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2010. № 1 39