Определение однородных функций соответствует решению диф-
ференциального уравнения
dN
dt
=
αcB
(
t
)
N
n
, α
=
const
,
(2)
где
α >
0
или
α <
0
, а множители в правой части введены для
выравнивания размерности.
Используя уравнение (1) при
(
N
˙
N/c
) +
BN
n
+1
= (
NαcBN
n
/c
) +
BN
n
+1
,
находим
w
= (
α
+ 1)
BN
n
+1
= (
α
+ 1)
BN
n
N
=
α
+ 1
αc
1
2
dN
2
dt
,
и независимо от функции времени
B
(
t
)
получаем
Э
=
dw
=
wdt
=
α
+ 1
2
αc
N
2
,
т.е. в упруго-вязком материале существует интегрируемость.
Например, если
α
=
−
1
, то
Э
= 0
, что соответствует нулевому
обмену энергии упруговязкой системы с окружающей средой. Такой
процесс является релаксацией. При
α >
0
и
N
=
const оказывается,
что
Э
=
const, как и в случае последействия. Следовательно,
α
=
−
1
соответствует закрытой, а
α >
0
— открытой системе.
С помощью операторной переменной
ω
=
β
Ω
(
β
=
const
)
уравне-
ние (2) приводим к следующему виду:
dN
dω
=
αc
β
N
n
.
Уравнения такого типа встречаются во многих разделах матема-
тической физики [2] (при
n
= 1
), поэтомуинтересно выявить осо-
бенности решений и классифицировать свойства этих решений при
различных значениях
n
и
α
(
n >
1
;
n <
1
;
n
= 1
;
α >
0
;
α <
0
). Здесь
переменные разделяются, и в результате получаем
N
−
n
+1
−
N
(0)
−
n
+1
−
n
+ 1
=
αc
Ω
,
Ω =
t
0
B
(
t
)
dt
при
n
=
1 и
dN
dω
=
αc
β
N
при
n
= 1
, а решением является функция
N
=
N
(0)
e
αc
Ω
.
38 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2010. № 1
