ет ожидать, что эффекты, соответствующие слабо диссипативной и
апериодической частям рассматриваемой гидросистемы будут сумми-
роваться, а спектр собственных колебаний будет иметь следующие
свойства.
Теорема.
1
.
Спектр пучка
L
(
λ
)
и задачи
(6)
−
(8)
не имеет мни-
мых значений
λ
=
±
iω
, число
λ
= 0
является собственным числом
бесконечной кратности и ему отвечают собственные элементы вида
u
= (0
, u
2
)
t
.
2
.
Если
v
1
>
0
,
(
v
2
>
0)
, а в случае
v
1
<
0 (
v
2
<
0)
при выполнении
дополнительного условия, то все собственные значения исследуемой
задачи расположены в правой полуплоскости симметрично относи-
тельно вещественной оси.
3
.
Спектр пучка
L
(
λ
)
и задачи
(6)
−
(8)
имеет собственные зна-
чения
λ
k
конечной алгебраической кратности, имеющие предельную
точку на
∞
, и состоит из двух ветвей: собственных значений
{
λ
k
}
∞
1
,
lim
λ
k
→ ∞
,
k
→ ∞
, расположенных на действительной положи-
тельной полуоси, и невещественных комплексно-сопряженных соб-
ственных значений
{
λ
k
}
∞
k
=1
, расположенных вблизи мнимой оси.
Доказательство
. 1. В самом деле, если
λ
=
iσ
,
0 =
σ
∈
R
, то из
уравнения (9) получаем
iσ
(
Cu, u
)
−
γ
(
Du, u
) + (
iσ
)
−
1
( ˜
Iu, u
) = 0
,
откуда следует, ввиду самосопряженности операторов
C, D,
и
˜
I
, что
(
Du, u
) =
D
1
/
2
u
2
= 0
и потому
u
= 0
. Кроме того, положив
λ
= 0
, из выражения (9) име-
ем
( ˜
Iu, u
) = 0
и элемент
u
= (0
, u
2
)
т
, которому отвечает бесконечное
множество установившихся течений жидкого топлива с невозмущен-
ной свободной поверхностью.
2. Действительно, пусть
λ
0
— собственное значение пучка
L
(
λ
)
, а
u
0
— соответствующий ему собственный вектор. Умножив скалярно
L
(
λ
)
u
0
на вектор
u
0
, получим квадратное уравнение
L
(
λ
)
u
0
, u
0
=
λ
2
0
(
Cu
0
, u
0
)
−
λγ
(
Du
0
, u
0
) + ( ˜
Iu
0
, u
0
) = 0
,
которое имеет решение
λ
0
=
γ
(
Du
0
, u
0
)
±
γ
2
(
Du
0
, u
0
)
2
−
4(
Cu
0
, u
0
)( ˜
Iu
0
, u
0
)
2(
Cu
0
, u
0
)
.
Если выполнены условия леммы, то
(
Du
0
, u
0
)
>
0
и потому
Re
λ
0
>
0
, т.е.
λ
0
находится в правой полуплоскости. Из самосо-
пряженности операторов
C
и
D
следует, что если оператор-функция
L
(
λ
)
обратима в точке
λ
0
, то она обратима и в точке
¯
λ
0
. Отсюда сле-
дует, что собственные числа пучка
L
(
λ
)
расположены симметрично
относительно вещественной оси.
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012. № 3 37
