нение уровня невозмущенной поверхности при вытекании жидкости
в условиях постоянной интенсивности внешнего поля массовых сил
приводит к эффекту демпфирования поверхностных волн идеальной
жидкости, а повышение уровня — к экспоненциальному росту ампли-
туд колебаний. Для произвольного сосуда с кусочно-гладкой границей
подобная задача о нормальных колебаниях идеальной жидкости при-
обретает вид спектральной задачи (11) для операторного пучка
L
1
(
λ
)
.
Если скорость изменения уровня жидкости в баке небольшая, то опе-
раторный пучок
L
1
(
λ
)
, очевидно, следует считать слабо демпфирован-
ным [7], т.е. удовлетворяющим условию
(
γd
11
u
1
, u
1
)
2
<
4(
C
11
u
1
, u
1
)(
u
1
, u
1
)
.
(14)
При выполнении неравенства (14) операторный пучок
L
1
(
λ
)
имеет
невещественный спектр собственных значений
{
λ
k
}
, расположенный
симметрично относительно вещественной оси в сегменте
Re
λ > n
0
(2
C
11
)
−
1
,
|
λ
|
<
2
n
−
1
0
,
(15)
и две ветви вещественных собственных значений
{
λ
−
k
}
∞
k
=1
,
{
λ
+
k
}
∞
k
=1
,
стремящиеся к нулю и бесконечности соответственно. При усилении
неравенства (14)
(
γd
11
u
1
, u
1
)
2
4(
C
11
u
1
, u
1
)(
u
1
, u
1
)
,
(16)
т.е. при
v
1
(
H
)
→
0
, что характерно для изменения уровня топли-
ва в баках ракет-носителей, сегмент (15) расширяется, вещественные
собственные значения исчезают и комплексные собственные числа
группируются вблизи мнимой оси, имея предельную точку на бес-
конечности. Невещественным собственным значениям
{
λ
k
}
отвечают
осциллирующие во времени затухающие режимы нормальных коле-
баний, происходящие по закону
exp
{−
(
Re
λ
)
t
}
exp
{
i
(
Im
λ
)
t
}
.
Задача (12), записанная в виде
L
2
(
λ
)
ν
2
= (
λC
22
−
γd
22
)
ν
2
= 0
,
(17)
— задача о спектре нормальных движений вытекающей жидкости, сво-
бодная поверхность которой закрыта плавающей крышкой. Изучение
этой модельной задачи в работе [8] установило существование на по-
верхности слива волновых апериодических движений и показало, что
спектр задачи (14) является дискретным, состоящим из положитель-
ных собственных значений
{
λ
n
}
∞
1
,
lim
λ
n
→ ∞
,
n
→ ∞
, а собствен-
ные функции
ν
2
k
(
x
1
, x
2
)
образуют ортонормированный базис в
L
2
(Γ
2
)
.
Дальнейшее изучение этой задачи в условиях равномерного вращения
было продолжено В.В. Орловым.
Из приведенных результатов следует вывод, что в раздельных за-
дачах (11), (12) спектры расположены вблизи мнимой оси и на дей-
ствительной полуоси соответственно. В предлагаемой задаче следу-
36 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012. № 3
