Δ
ϕ
= 0
в
Q,
∂ϕ
∂n
= 0
на
S,
(5)
λ
2
ϕ
−
λv
1
(
x
1
, x
2
)
· ∇
ϕ
+
u
·
n
1
= 0
,
на
Γ
1
;
(6)
λ
2
ϕ
−
λv
2
(
x
1
, x
2
)
· ∇
ϕ
−
λγ u
·
n
2
= 0
на
Γ
2
,
(7)
где
u
·
n
k
=
∂ϕ
∂n
k
(
x
1
, x
2
)
,
γ
=
γ
∗
/ gl
,
l
— характерный размер бака.
Эквивалентная задача для операторного пучка.
Введем необ-
ходимые функциональные пространства и сделаем преобразования,
аналогичные выполненным в работе [6]. В результате придем к спек-
тральной задаче для операторного пучка
L
(
λ
)
u
, эквивалентной исход-
ной задаче (6)–(8) т.е.
L
(
λ
)
u
= (
λ
2
C
−
λγD
+ ˜
I
)
u
= 0
,
(8)
где
C
=
P
H
ˆ
CP
H
,
D
=
P
H
ˆ
DP
H
,
˜
I
=
P
H
ˆ
IP
H
,
F
=
P
H
ˆ
FP
H
,
u
= (
u
1
, u
2
)
t
,
ˆ
C
=
C
11
C
12
C
21
C
22
,
ˆ
D
=
d
11
0
0
d
22
,
ˆ
I
=
I
0
0 0
,
(9)
u
i
(
t
)
— значения функции
u
(
t
)
на поверхностях
Γ
i
;
P
H
— ортопроектор
на пространство
H
:=
L
2
,
Γ
;
L
2
,
Γ
=
L
2
(Γ)
{
(1
1
,
1
2
)
t
}
— гильбертово
пространство коразмерности 1 (
L
2
(Γ) =
2
⊕
i
=1
L
2
(Γ
i
)
, a
1
i
(
i
= 1
,
2)
—
единичная функция на
Γ
i
).
Задача (9) может быть получена из эволюционной задачи, приве-
денной в работе [6], если положить
F
(
t
)
≡
0
и решение искать в виде
w
(
t
) =
e
−
λt
u
,
u
∈
H
,
λ
∈
C
.
В задаче (9)
C
— самосопряженный компактный оператор,
0
< C
∈
∈
∞
, где
∞
— класс компактных операторов в гильбертовом про-
странстве;
ˆ
I
— неотрицательный оператор,
ˆ
I
≥
0
;
I
— единичный опе-
ратор. Рассмотрим более подробно свойства оператора
D
: операторы
d
11
,
d
22
— самосопряженные, они ограничены и определены равен-
ствами
d
11
u
1
=
|
v
1
(
x
1
, x
2
)
|
βu
1
, d
22
u
2
= (
|
v
2
(
x
1
, x
2
)
|
β
+1)
u
2
, β
=
γ
−
1
,
(10)
где
|
v
k
(
x
1
, x
2
)
|
=
v
k
(
x
1
, x
2
)
,
k
= 1
,
2
для бака, из которого вытекает
топливо (бак бокового блока);
|
v
k
(
x
1
, x
2
)
|
=
−
v
k
(
x
1
, x
2
)
,
k
= 1
,
2
, для
бака, в который топливо поступает (бак центрального блока). Будем
считать, что функции
v
1
(
x
1
, x
2
)
,
v
2
(
x
1
, x
2
)
вещественны, измеримы, су-
щественно ограничены и характеризуют распределение скоростей на
свободных поверхностях и поверхностях перераспределения топлива.
Пусть в невозмущенном движении поле скоростей на поверхностях
Γ
1
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012. № 3 33
