и
Γ
2
в баках первой и второй ступеней удовлетворяет неравенствам
n
1
≤ |
v
1
(
x
1
, x
2
)
| ≤
N
1
, n
2
≤ |
v
2
(
x
1
, x
2
)
| ≤
N
2
,
а для операторов
d
11
,
d
22
в случае уменьшения массы топлива в баке
справедливы оценки
βn
1
u
1
2
1
≤
(
d
11
u
1
, u
1
)
1
=
=
β
Γ
1
v
1
(
x
1
, x
2
)
u
1
, u
1
d
1
≤
βN
1
Γ
u
1
, u
1
d
Γ =
βN
1
u
1
2
1
,
(1 +
βn
2
)
u
2
2
2
≤
(
d
22
u
2
, u
2
)
2
=
=
Γ
(
βv
2
(
x
1
, x
2
) + 1)
u
2
, u
2
d
Γ
≤
(
βN
2
+ 1)
u
2
2
2
.
В случае увеличения массы топлива имеем иные оценки
−
βN
1
u
1
2
1
≤
(
d
11
u
1
, u
1
)
1
≤ −
βn
1
u
1
2
1
,
(1
−
βN
2
)
u
2
2
2
≤
(
d
22
u
2
, u
2
)
2
≤
(1
−
βn
2
)
u
2
2
2
.
Лемма
.
Оператор
D
— самосопряженный, ограниченный и огра-
ниченный снизу оператор. Если
v
1
>
0 (
v
2
>
0)
, то оператор
D
положительный
−
(
D >
0)
, если
v
1
<
0 (
v
2
<
0)
, то при выполнении
дополнительного условия
(1
−
βN
2
)
≤
(
Du, u
)
H
,
(1
−
βN
2
)
>
0
оператор
D
также положительный.
Доказательство
. Докажем сначала свойство самосопряженности:
(
Du, u
)
H
= (
P
H
ˆ
DP
H
u, u
)
H
= ( ˆ
Du, u
)
H
=
Γ
1
v
1
βu
1
·
(
u
1
)
∗
d
Γ
1
+
+
Γ
2
(
v
2
β
+ 1)
u
2
·
(
u
2
)
∗
d
Γ
2
= (
u,
ˆ
Du
)
H
= (
u, Du
)
H
∀
u
= (
u
1
, u
2
)
t
, u
= (
u
1
, u
2
)
t
∈
H,
откуда и следует, что
D
=
D
∗
. Полагая теперь
u
=
u
, получаем для
случая уменьшения массы топлива оценку
(
Du, u
)
H
=
Γ
1
|
v
1
|
βu
1
·
u
∗
1
d
Γ
1
+
Γ
2
(
|
v
2
|
β
+ 1)
u
2
·
u
∗
2
d
Γ
2
≤
≤
(
N
2
β
+ 1)
Γ
1
u
1
·
u
∗
1
d
Γ
1
+
Γ
2
u
2
·
u
∗
2
d
Γ
2
≤
(
N
2
β
+ 1)
u
2
H
.
34 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012. № 3
