Покажем теперь, что
D >
0
, если
v
1
>
0 (
v
2
>
0)
:
(
Du, u
)
H
=
Γ
1
|
V
1
|
βu
1
·
u
∗
1
d
Γ
1
+
Γ
2
(
|
V
2
|
β
+ 1)
u
2
·
u
∗
2
d
Γ
2
=
=
β
Γ
1
|
v
1
|
u
1
·
u
∗
1
d
Γ
1
+
Γ
2
|
v
2
|
βu
2
·
u
∗
2
d
Γ
2
+
Γ
2
u
2
·
u
∗
2
d
Γ
2
≥
βn
1
u
2
H
.
В случае увеличения массы топлива имеем оценки
(
Du, u
)
H
=
Γ
1
|
v
1
|
βu
1
·
u
∗
1
d
Γ
1
+
Γ
2
(
|
v
2
|
β
+ 1)
u
2
·
u
∗
2
d
Γ
2
≥
k u
2
H
,
k
= min
{−
βN
1
,
1
−
βN
2
}
;
(
Du, u
)
H
=
Γ
1
|
v
1
|
βu
1
·
u
∗
1
d
Γ
1
+
Γ
2
(
|
V
2
|
β
+ 1)
u
2
·
u
∗
2
d
Γ
2
≤
k
1
u
2
H
,
k
1
= max
{−
βn
1
,
1
−
βn
2
}
.
Из приведенных в последнем случае оценок следует, что оператор
D
будет положительным при выполнении условия
(1
−
βN
2
)
>
0
.
Основные свойства спектра нормальных движений жидкого
топлива.
Прежде чем исследовать задачу (8), т.е. операторный пу-
чок
L
(
λ
)
, отвечающий нормальным движениям вытекающей из про-
извольного сосуда жидкости, выскажем предварительные соображе-
ния относительно структуры спектра раздельных задач. Положив в (9)
C
12
=
C
21
= 0
, получим две отдельные задачи:
L
1
(
λ
)
u
1
= (
λ
2
C
11
−
λγd
11
+
I
)
u
1
= 0;
(11)
L
2
(
λ
)
u
2
= (
λ
2
C
22
−
λγd
22
+
λI
)
u
2
= 0
.
(12)
При отсутствии оператора
d
11
(скорость изменения уровня невозму-
щенной свободной поверхности
v
1
(
H
) = 0
) и замене
λ
на
iω
опера-
торный пучок
L
1
(
λ
)
переходит в классическую задачу на собственные
значения для неограниченного положительного оператора
C
−
1
11
, т.е.
(
−
σI
+
C
−
1
11
)
u
1
= 0
, σ
=
ω
2
.
(13)
Как известно [4, 7], задача (13) имеет дискретный спектр поло-
жительных собственных значений
{
σ
k
}
∞
k
=1
,
σ
k
=
ω
2
k
,
lim
ω
k
→ ∞
,
k
→ ∞
и ортонормированный базис в
L
2
(Γ
1
)
собственных функций
u
1
k
(
x
1
, x
2
)
, которым отвечают частоты и формы собственных колеба-
ний свободной поверхности ограниченного объема жидкости.
При условии
v
1
(
H
(
t
)) = 0
, но в отсутствие динамического условия
(3) на поверхности слива исходная задача (1), (2), (4) для цилиндри-
ческих баков изучалась в работах [3, 4]. Было установлено, что изме-
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012. № 3 35
