Решая дифференциальное уравнение (20) известным способом [12,
с. 34], находим
v
ϕ
=
−
0
,
5
ρ
∂f
(
ρ
)
∂ρ
+ 2
f
(
ρ
) sin
ϕ
+
f
1
(
ρ
)
sin
ϕ
.
(21)
Из очевидного граничного условия на оси симметрии
v
ϕ
= 0
при
ϕ
= 0
следует, что
f
1
(
ρ
) = 0
. Тогда окончательно получим
v
ϕ
=
−
0
,
5
ρ
∂f
(
ρ
)
∂ρ
+ 2
f
(
ρ
) sin
ϕ.
(22)
Для того чтобы наглядно убедиться в том, что зависимость (18)
в принципе позволяет удовлетворить все имеющиеся кинематические
граничные условия, можно подставить в выражения (18) и (22), на-
пример, функцию
f
(
ρ
) =
v
0
R
2
−
1
R
2
−
ρ
2
ρ
2
.
(23)
В результате получим формулы
v
ρ
=
v
0
R
2
−
1
R
2
−
ρ
2
ρ
2
cos
ϕ,
(24)
v
ϕ
=
v
0
R
2
−
1
sin
ϕ,
(25)
которые удовлетворяют условиям
v
ρ
=
v
0
cos
ϕ
при
ρ
= 1
,
v
ρ
= 0
при
ρ
=
R
,
v
ϕ
=
v
1
при
ϕ
= 90
◦
.
Но продолжим дальше решение в общем виде. Подставив равен-
ства (18) и (22) в кинематические уравнения (10)–(13), найдем скоро-
сти деформаций
ξ
ρ
=
∂f
(
ρ
)
∂ρ
cos
ϕ
;
(26)
ξ
θ
=
−
0
,
5
∂f
(
ρ
)
∂ρ
cos
ϕ
;
(27)
ξ
ϕ
=
−
0
,
5
∂f
(
ρ
)
∂ρ
cos
ϕ
;
(28)
η
ρϕ
=
−
∂
2
f
(
ρ
)
∂ρ
2
·
ρ
2
+
∂f
(
ρ
)
∂ρ
sin
ϕ.
(29)
С учетом структуры выражения (29) его можно представить в со-
кращенном виде
η
ρϕ
=
f
2
(
ρ
) sin
ϕ.
(30)
Из-за разрыва на границе пластической области
2
с жесткой зо-
ной (т.е. при
ρ
=
R
) скоростей, касательных к этой границе, скорость
сдвиговой деформации
η
ρϕ
и, соответственно, интенсивность скоро-
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012. № 2 19
