∂τ
ϕρ
∂ρ
+
∂σ
ϕ
ρ∂ϕ
+
1
ρ
[3
τ
ϕρ
+ (
σ
ϕ
−
σ
θ
) ctg
ϕ
] = 0
(3)
— уравнения равновесия;
σ
ρ
=
σ
+
2
3
σ
i
ξ
i
ξ
ρ
;
(4)
σ
θ
=
σ
+
2
3
σ
i
ξ
i
ξ
θ
;
(5)
σ
ϕ
=
σ
+
2
3
σ
i
ξ
i
ξ
ϕ
;
(6)
τ
ρϕ
=
1
3
σ
i
ξ
i
η
ρϕ
(7)
— уравнения Леви–Мизеса, связывающие напряжения и скорости де-
формаций;
ξ
i
=
√
2
3
(
ξ
ρ
−
ξ
θ
)
2
+ (
ξ
θ
−
ξ
ϕ
)
2
+ (
ξ
ϕ
−
ξ
ρ
)
2
+
3
2
η
2
ρϕ
(8)
— интенсивность скоростей деформаций;
ξρ
+
ξθξϕ
= 0
(9)
— условие несжимаемости (условие постоянства объема);
ξ
ρ
=
∂v
ρ
∂ρ
;
(10)
ξ
θ
=
v
ϕ
ctg
ϕ
ρ
+
v
ρ
ρ
;
(11)
ξ
ϕ
=
1
ρ
∂v
ϕ
∂ϕ
+
v
ρ
ρ
;
(12)
η
ρϕ
=
∂v
ϕ
∂ρ
−
v
ϕ
ρ
+
1
ρ
∂v
ρ
∂ϕ
(13)
— кинематические уравнения, связывающие скорости деформаций со
скоростями пластического течения.
Таким образом, здесь мы имеем задачу о нахождении 12 неизвест-
ных величин
v
ρ
, v
ϕ
, ξ
ρ
, ξ
θ
, ξ
ϕ
, η
ρϕ
, ξ
i
, σ
ρ
, σ
θ
, σ
ϕ
, τ
ρϕ
, σ
(напомним,
что
σ
— это среднее нормальное напряжение или гидростатическое
давление), связанных между собой 12 определяющими уравнениями,
половина из которых — в частных производных. Что касается интен-
сивности напряжений, то согласно условиюпластичности
σ
i
=
σ
s
.
Примем, что очаг пластической деформации (см. рис. 3) сосредото-
чен в области
2
, ограниченной радиусом
R
, значение которого следует
найти в результате решения. Область
2
разбита на зоны
2а
и
2б
, ко-
торые потребуются при дальнейшем определении деформированного
состояния и на которые при исходном определении кинематического
и напряженного состояний обращать внимание не следует.
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012. № 2 17
