Рис. 1. Симметричный вортон-отрезок:
r
0
— радиус-вектор центра в мировой си-
стеме координат;
Δ
r
— направляющий век-
тор
и условие непротекания на по-
верхности тела
S
:
V
(
r
S
, t
)
×
n
S
= 0
,
(2)
где
r
S
– радиус-вектор точки
на поверхности тела, заданный
в мировой системе координат;
n
S
– единичный вектор внеш-
ней нормали к поверхности тела
в этой точке.
При дискретизации уравне-
ний движения жидкости за-
вихренность аппроксимируется
множеством из
N
вихревых эле-
ментов (ВЭ) – симметричных
вортонов-отрезков (рис. 1). Такой ВЭ подобен элементу вихревой труб-
ки. Он показал высокую эффективность при моделировании явления
“чехарды” вихревых колец [6].
Эволюция поля завихренности складывается из движения центров
ВЭ по жидким линиям, изменения длины, поворота направляющих
векторов ВЭ (при движении интенсивность ВЭ не изменяется) и гене-
рации новых ВЭ.
Уравнения движения для центра и направляющего вектора
i
-го ВЭ
имеют вид
dr
0
i
dt
=
V
(
r
0
i
, t
) ;
(3)
d
(Δ
r
i
)
dt
=
N
j
=1
ˆ
B
j
(
r
0
i
)
×
Δ
r
i
, i
= 1
, . . . , N,
(4)
где
V
(
r
0
i
, t
) =
V
∞
+
N
j
=1
V
j
(
r
0
i
);
V
j
(
r
0
i
) = (4
π
)
−
1
Γ
j
c a
;
c
= 2 ((
η
1
−
η
2
)
×
Δ
r
j
)
/h
;
a
= 2 (
s
0
×
Δ
r
j
) ;
h
=
|
a
|
2
;
s
0
=
r
0
j
−
r
0
i
;
η
1
=
s
1
/s
1
;
η
2
=
s
2
/s
2
;
s
1
=
s
0
+ Δ
r
j
;
s
2
=
s
0
−
Δ
r
j
;
s
1
=
|
s
1
|
;
s
2
=
|
s
2
|
; Δ
r
2
j
=
|
Δ
r
j
|
2
;
ˆ
B
j
(
r
0
i
)
mn
=
∂
(
V
)
m
∂
(
r
0
)
n
=
Γ
j
4
π
∂c
∂
(
r
0
i
)
n
×
(
a
)
m
−
2
c ε
mnk
(Δ
r
j
)
k
;
∂c
∂
(
r
0
)
n
=
2
h
2
s
1
s
2
h
(
s
1
−
s
2
) (Δ
r
j
)
n
−
∂h
∂
(
r
0
i
)
n
K
+
+
2
h s
2
1
s
2
2
(Δ
r
j
×
s
1
)
s
2
2
η
1
−
(Δ
r
j
×
s
2
)
s
2
1
η
2
;
28 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2009. № 2
