Модели рейнольдсовых напряжений.
Двухпараметрические мо-
дели турбулентности, описанные ранее, предполагают справедливость
градиентной гипотезы Буссинеска, линейно связывающей pейнольдсо-
вые напряжения с усредненными градиентами скоростей и турбулент-
ной вязкостью. В этом случае главные направления тензора скоростей
деформации соответствуют главным направлениям тензора напряже-
ний. Это разумно для весьма простого деформированного состояния,
особенно, когда константы модели тщательно откалиброваны для рас-
сматриваемых классов течений, но может быть не применимо при
моделировании сложных полей деформаций, появляющихся при на-
личии закрутки потока или сложной геометрии. При таких условиях
необходимо использовать более сложную связь между напряжением и
скоростью деформации.
Модели переноса рейнольдсовых напряжений (Reynolds Stress Mo-
dels) определяют турбулентные напряжения непосредственно по урав-
нениям переноса для каждого компонента тензора напряжений, что
требует решения дополнительных шести взаимозависимых уравнений
совместно с уравнением скорости турбулентной диссипации
ε
, по ко-
торому определяется пространственный масштаб турбулентности.
Дифференциальное уравнение переноса рейнольдсовых напряже-
ний имеет вид
∂ρu
⊗
u
∂t
+
∇ ·
(
ρU
⊗
u
⊗
u
) =
=
P
+
φ
+
∇ ·
μ
+
2
3
c
s
ρ
k
2
ε
∇
u
⊗
u
−
2
3
δρε,
(27)
где
P
=
−
ρ
(
u
⊗
u
(
∇
U
)
T
+ (
∇
U
)
u
⊗
u
)
.
Уравнение переноса рейнольдсовых напряжений в тензорной
записи можно представить как
∂τ
ij
∂t
+
∂
(
U
k
τ
ij
)
∂x
k
=
P
ij
+
φ
ij
+
∂
∂x
k
ν
∂τ
ij
∂x
k
+
c
ij
−
ε
ij
,
(28)
где
τ
ij
=
ρu
i
u
j
— тензор рейнольдсовых напряжений;
ε
ij
=
2
3
δ
ij
ρε
—
определение диссипации с использованием гипотезы Колмогорова о
локальной изотропии;
c
ij
=
2
3
c
s
ρ
k
2
ε
∂u
i
u
j
∂x
k
— турбулентный перенос
[Launder, Reece and Rodi].
Итак, получаем систему уравнений для модели рейнольдсовых на-
пряжений:
∂
∂t
(
ρu
i
u
j
) +
∂
∂x
k
(
U
k
ρu
i
u
j
) =
=
P
ij
+
φ
ij
+
∂
∂x
k
μ
+
2
3
c
s
ρ
k
2
ε
∂u
i
u
j
∂x
k
−
2
3
δ
ij
ρε
(29)
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2009. № 2 13
