условием при
ρ
= 1
,
явно содержащим производную от температу
-
ры по времени
.
При
ε
= 0
и
Q
(
Fo
) =
Q
0
=
const
решение этой
задачи получено в работах
[1, 3]
путем применения интегральных пре
-
образований Лапласа по переменному
Fo
и Вебера по переменному
ρ
соответственно
.
Рассматриваемая задача
(2)
имеет единственное решение
[13],
для
нахождения которого воспользуемся интегральным преобразованием
Лапласа по переменному
Fo [1–4].
Пусть далее функции
Θ(
ρ,
Fo
)
и
Q
(
Fo
)
являются оригиналами интегрального преобразования Лапласа
:
L
[
·
]
≡
∞
Z
0
exp(
−
s
Fo
)
·
d
Fo
(3)
—
оператор прямого интегрального преобразования Лапласа по пере
-
менному
Fo
с параметром
s
∈
C
и
U
(
ρ, s
) =
L
[Θ(
ρ,
Fo
)];
(4)
Π(
s
) =
L
[
Q
(
Fo
)]
.
Тогда
,
согласно выражениям
(2)
и
(4),
изображение
U
(
ρ, s
)
инте
-
грального преобразования Лапласа
(3)
функции
Θ(
ρ,
Fo
)
должно удо
-
влетворять уравнению
sU
(
ρ, s
) =
d
2
U
(
ρ, s
)
dρ
2
+
1
ρ
dU
(
ρ, s
)
dρ
, ρ >
1;
(5)
граничному условию
dU
(
ρ, s
)
dρ
=
−
Π(
s
) +
εsU
(
ρ, s
)
, ρ
= 1
,
(6)
и при каждом фиксированном значении параметра
s
принадлежит клас
-
су функций
L
2
[1
,
+
∞
)
,
интегрируемых с квадратом по пространствен
-
ному переменному
ρ
∈
[1
,
+
∞
)
.
Решение
U
(
ρ, s
)
уравнения
(5)
из класса
L
2
[1
,
+
∞
)
имеет следую
-
щий вид
:
U
(
ρ, s
) =
C
(
s
)
K
0
(
ρ
√
s
)
,
(7)
где
C
(
s
) =
K
−
1
0
(
√
s
)
U
(1
, s
)
,
U
(1
, s
)
—
изображение интегрального
преобразования Лапласа
(3)
функции
Θ(1
,
Fo)
,
задающей температур
-
ный профиль поверхности
ρ
= 1
твердого тела
;
K
ν
(
·
)
—
модифици
-
рованная функция Бесселя второго рода порядка
ν
[1, 2, 14].
С учетом
тождества
[14]
K
0
0
(
·
) =
−
K
1
(
·
)
,
согласно выражениям
(6)
и
(7),
полу
-
чаем
U
(
ρ, s
) = Π(
s
)Φ(
ρ, s
)
, ρ
≥
1;
(8)
ISSN 0236-3941.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Машиностроение
”. 2005.
№
1 27
