Однородное уравнение решаем как
y
общ.одн
(
ξ
) =
4
k
=1
C
k
e
λ
k
ξ
;
ϕ
общ.одн
(
ξ
) =
1
l
4
k
=1
C
k
λ
k
e
λ
k
ξ
;
M
общ.одн
(
ξ
) =
EJ
l
2
4
k
=1
C
k
λ
2
k
e
λ
k
ξ
;
Q
общ.одн
(
ξ
) =
EJ
l
3
8
k
=1
C
k
λ
3
k
e
λ
k
ξ
.
Корни характеристического уравнения определим следующим
образом:
λ
1
=
β
(1 +
i
)
, λ
2
=
β
(
−
1 +
i
)
, λ
3
=
β
(
−
1
−
i
)
, λ
4
=
β
(1
−
i
)
,
где
β
=
l
√
2
4
k
EJ
.
Поскольку система дифференциальных уравнений (4) имеет дей-
ствительные коэффициенты, то ее решения можно представить в дей-
ствительном виде. Запишем перемещение
y
общ.одн
(
ξ
)
в виде
y
общ.одн
(
ξ
) =
С
1
e
βξ
cos
βξ
+
+
С
2
e
βξ
sin
βξ
+
С
3
e
−
βξ
cos
βξ
+
С
4
e
−
βξ
sin
βξ.
Введем векторконстант
С
=
С
1
С
2
С
3
С
4
т
, тогда решение
однородной части системы дифференциальных уравнений (4) в дей-
ствительном виде можно записать так:
X
общ.одн
(
ξ
) =
F
(
ξ
)
·
С
, где
F
=
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
e
βξ
cos
βξ
e
βξ
sin
βξ
β
l
e
βξ
(cos
βξ
−
sin
βξ
)
β
l
e
βξ
(cos
βξ
+ sin
βξ
)
−
2
β
2
EJ
l
2
e
βξ
sin
βξ
2
β
2
EJ
l
2
e
βξ
cos
βξ
−
2
β
3
EJ
l
3
e
βξ
(cos
βξ
+ sin
βξ
)
2
β
3
EJ
l
3
e
βξ
(cos
βξ
−
sin
βξ
)
=
⇒
=
⇒
e
−
βξ
cos
βξ
e
−
βξ
sin
βξ
β
l
e
−
βξ
(
−
cos
βξ
−
sin
βξ
)
β
l
e
−
βξ
(cos
βξ
−
sin
βξ
)
2
β
2
EJ
l
2
e
−
βξ
sin
βξ
−
2
β
2
EJ
l
2
e
−
βξ
cos
βξ
2
β
3
EJ
l
3
e
−
βξ
(cos
βξ
−
sin
βξ
)
2
β
3
EJ
l
3
e
−
βξ
(cos
βξ
+ sin
βξ
)
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
.
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2010. № 3 101
