Автомодельное решение задачи теплопереноса в изотропном полупространстве, подвижная граница которого имеет пленочное покрытие

3 / 9

Автомодельное решение задачи теплопереноса в изотропном полупространстве…
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2017. № 5 91
В математической модели (1) использованы следующие безразмерные пере-
менные и параметры:
0 c 0 *
2
c0 0 c0 0 * * *
п п п *
п
Fo , , , , ,
Bi , , , ,
at x T T T T h h
x x T T T T x
x h с a
h
с a
 
       
 
  
       
   
где a — температуропроводность; t — время; * x — выбранная единица масштаба
пространственной переменной; x — пространственная переменная;  — коэф-
фициент теплоотдачи; c — удельная массовая теплоемкость;  — плотность;  —
теплопроводность; индексы: «п» — покрытие, «с» — внешняя среда, «0» — началь-
ное значение.
Функция  Fo ,  определяющая закон движения границы полупростран-
ства, — неотрицательная неубывающая функция, дифференцируемая хотя бы в
обобщенном смысле [17] и удовлетворяющая условию  0 0.   Функции
  Bi Fo и  Fo  по смыслу решаемой задачи могут принимать лишь неотрица-
тельные значения и должны удовлетворять условиям Гёльдера [17].
Отметим, что наличие пленочного покрытия в реализуемой математиче-
ской модели «сосредоточенная емкость» фактически учтено граничным услови-
ем при  Fo ,    явно содержащим производную температуры по времени.
Определяющий безразмерный параметр  модели (1) по смыслу решаемой зада-
чи − малый положительный параметр.
Выполним в задаче (1) автомодельную подстановку
 Fo .
Fo
  
  (2)
Тогда, с учетом очевидных равенств
  2 2
2 2
/ 2 Fo 1 1
, ,
Fo Fo Fo Fo
Fo d d d
d d d
     
   
     

и введенных обозначений
       
 
Bi Fo Fo
, Fo , Fo ,
Fo 1
U    
 
  (3)
смешанная задача (1) будет эквивалентна следующей краевой задаче:
     
2
2 Fo Fo 0, 0;
2
d U dU
d d
   
       
   
 (4)
       
0
0
Fo Fo ;
dU
U
d  
 
  
    
    
(5)