ω
x
= ˙
ψ
sin
θ
sin
ϕ
+ ˙
θ
cos
ϕ
;
ω
y
= ˙
ψ
sin
θ
cos
ϕ
−
˙
θ
sin
ϕ
;
ω
z
= ˙
ψ
cos
θ
+ ˙
ϕ.
(3)
Значения
ω
x
,
ω
y
и
ω
z
получаем, интегрируя уравнение (2). Пре-
образуем соотношения (3) следующим образом:
˙
ψ
=
ω
x
sin
ϕ
sin
θ
+
ω
y
cos
ϕ
sin
θ
;
˙
θ
=
ω
x
cos
ϕ
−
ω
y
sin
ϕ
;
˙
ϕ
=
ω
z
−
ctg
θ
(
ω
x
sin
ϕ
+
ω
y
cos
ϕ
)
.
(4)
Из (4) следует, что если тело совершает произвольное простран-
ственное движение, то этими соотношениями пользоваться нельзя, так
как при углах, кратных
kπ
(
k
= 0
,
1
,
2
, . . .
)
и близких к ним,
sin
θ
→
0
,
а
˙
ψ
→ ∞
. Чтобы исключить этот недостаток для определения ориента-
ции можно использовать систему направляющих косинусов. Примем
следующий порядок поворотов
ψ
→
θ
→
ϕ
(углы Эйлера). Запишем
матрицу перехода из связанной с телом СК в инерциальную СК [6]:
A
=
=
cos
ψ
cos
ϕ
−
sin
ψ
sin
ϕ
cos
θ
sin
ψ
cos
ϕ
+ cos
ψ
sin
ϕ
cos
θ
sin
ϕ
sin
θ
−
cos
ψ
sin
ϕ
−
cos
ψ
sin
ϕ
cos
θ
−
sin
ψ
sin
ϕ
+ cos
ψ
cos
ϕ
cos
θ
cos
ϕ
sin
θ
sin
ψ
sin
θ
−
cos
ψ
sin
θ
cos
θ
=
=
"
cos (
x, x
g
) cos (
x, y
g
) cos (
x, z
g
)
cos (
y, x
g
) cos (
y, y
g
) cos (
y, z
g
)
cos (
z, x
g
) cos (
z, y
g
) cos (
z, z
g
)
#
.
(5)
Обозначим единичный вектор любой из инерциальных осей
~α
k
.
В подвижной связанной с телом СК проекции этого вектора опреде-
ляются направляющими косинусами:
~α
k
=
~e
1
a
1
k
+
~e
2
a
2
k
+
~e
3
a
3
k
,
где
~e
1
, ~e
2
, ~e
3
— орты связанной системы координат;
a
ik
— элемент ма-
трицы перехода
А
(
i
= 1
,
2
,
3
;
k
= 1
,
2
,
3)
.
В инерциальной СК полная производная единичного вектора
~α
k
равна нулю. Воспользуемся формулой Бура [7]:
d~α
k
dt
=
˜
d~α
k
dt
+
~ω
×
~α
k
.
Откуда
˜
d~α
k
dt
=
~α
k
×
~ω.
(6)
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2016. № 1 7