Previous Page  4 / 13 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 4 / 13 Next Page
Page Background

ω

x

= ˙

ψ

sin

θ

sin

ϕ

+ ˙

θ

cos

ϕ

;

ω

y

= ˙

ψ

sin

θ

cos

ϕ

˙

θ

sin

ϕ

;

ω

z

= ˙

ψ

cos

θ

+ ˙

ϕ.

(3)

Значения

ω

x

,

ω

y

и

ω

z

получаем, интегрируя уравнение (2). Пре-

образуем соотношения (3) следующим образом:

˙

ψ

=

ω

x

sin

ϕ

sin

θ

+

ω

y

cos

ϕ

sin

θ

;

˙

θ

=

ω

x

cos

ϕ

ω

y

sin

ϕ

;

˙

ϕ

=

ω

z

ctg

θ

(

ω

x

sin

ϕ

+

ω

y

cos

ϕ

)

.

(4)

Из (4) следует, что если тело совершает произвольное простран-

ственное движение, то этими соотношениями пользоваться нельзя, так

как при углах, кратных

(

k

= 0

,

1

,

2

, . . .

)

и близких к ним,

sin

θ

0

,

а

˙

ψ

→ ∞

. Чтобы исключить этот недостаток для определения ориента-

ции можно использовать систему направляющих косинусов. Примем

следующий порядок поворотов

ψ

θ

ϕ

(углы Эйлера). Запишем

матрицу перехода из связанной с телом СК в инерциальную СК [6]:

A

=

=

 

cos

ψ

cos

ϕ

sin

ψ

sin

ϕ

cos

θ

sin

ψ

cos

ϕ

+ cos

ψ

sin

ϕ

cos

θ

sin

ϕ

sin

θ

cos

ψ

sin

ϕ

cos

ψ

sin

ϕ

cos

θ

sin

ψ

sin

ϕ

+ cos

ψ

cos

ϕ

cos

θ

cos

ϕ

sin

θ

sin

ψ

sin

θ

cos

ψ

sin

θ

cos

θ

 

=

=

"

cos (

x, x

g

) cos (

x, y

g

) cos (

x, z

g

)

cos (

y, x

g

) cos (

y, y

g

) cos (

y, z

g

)

cos (

z, x

g

) cos (

z, y

g

) cos (

z, z

g

)

#

.

(5)

Обозначим единичный вектор любой из инерциальных осей

k

.

В подвижной связанной с телом СК проекции этого вектора опреде-

ляются направляющими косинусами:

k

=

~e

1

a

1

k

+

~e

2

a

2

k

+

~e

3

a

3

k

,

где

~e

1

, ~e

2

, ~e

3

— орты связанной системы координат;

a

ik

— элемент ма-

трицы перехода

А

(

i

= 1

,

2

,

3

;

k

= 1

,

2

,

3)

.

В инерциальной СК полная производная единичного вектора

k

равна нулю. Воспользуемся формулой Бура [7]:

d~α

k

dt

=

˜

d~α

k

dt

+

×

k

.

Откуда

˜

d~α

k

dt

=

k

×

~ω.

(6)

ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2016. № 1 7