ющем виде [4]:
◦
V
(S
d
+
pJ
C
−
1
) :
1
2
δ
C
d
◦
V
=
δW
ext
;
(3)
◦
V
(
J
−
1
−
k
−
1
p
)
δpd
◦
V
= 0
,
(4)
где
S
d
+
pJ
C
−
1
= S
— полный тензор напряжений Пиолы–Кирхгофа;
C = F
т
·
F
— тензор меры деформаций Коши–Грина;
F
— гра-
диентвектора места;
J
= det(F)
— мера объемной деформации;
S
d
=
J
F
−
1
·
σ
d
·
F
−
1
т
— часть второго тензора напряжений Пиолы–
Кирхгофа, связанная с энергией изохорических деформаций
ˆC =
J
−
2
/
3
C
.
В качестве модели упругого поведения резины рассматривается
слабосжимаемый неогуковский материал с функцией удельной энер-
гии деформации следующего вида:
U
=
1
2
G
(
J
−
2
/
3
I
1
c
−
3) +
1
2
k
(
J
−
1)
2
,
(5)
где
I
1
c
= trC
— первый инварианттензора меры деформаций.
Первое слагаемое в выражении (5) — это энергия изохорических
деформаций, второе слагаемое — энергия изменения объема.
Исходя из упругого потенциала (5), можно получить определяю-
щие соотношения для материала:
S
d
=
G J
−
2
/
3
(I
−
1
3
I
1
c
C
−
1
)
, p
=
k
(
J
−
1)
.
(6)
Для иллюстрации закона упругости представим зависимости меж-
ду напряжениями и удлинениями в осях главных деформаций в ком-
понентной форме:
S
1
=
GJ
−
2
/
3
2
3
λ
2
1
−
1
3
λ
2
2
−
1
3
λ
2
3
λ
−
2
1
+
pJλ
−
2
1
(1
→
2
→
3
→
1)
,
где
λ
1
,
λ
2
,
λ
3
— кратности удлинений,
J
=
λ
1
λ
2
λ
3
.
Переходя отнапряжений Пиолы–Кирхгофа к истинным напряже-
ниям, получаем
σ
1
=
S
1
λ
1
/λ
2
λ
3
=
=
GJ
−
5
/
3
2
3
λ
2
1
−
1
3
λ
2
2
−
1
3
λ
2
3
+
p
(1
→
2
→
3
→
1)
.
(7)
На рис. 4 показаны диаграммы одноосного растяжения-сжатия ма-
териала при разных значениях параметра
k/G
, построенные по за-
висимостям (7) при условии
σ
2
=
σ
3
= 0
. Отметим, что в случае
малых деформаций, подчиняющихся закону Гука, отношение объем-
6 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012. № 2
