Особенности анализа результатов стендовых испытаний рабочих колес турбомашин

5 / 8

показано, что в правых частях уравнений для нормальных координат
находятся члены, соответствующие колебаниям с частотами, равны-
ми суммам и разностям собственных частот системы. Таким образом,
во втором приближении на нормальные колебания системы с частота-
ми ωα накладываются дополнительные колебания с комбинационны-
ми частотами ωα ± ωβ . В третьем приближении среди комбинацион-
ных частот появляются частоты, совпадающие с исходными ωα . Таким
образом, частоты 1005, 1340 и 2010 Гц можно отождествить с форма-
ми колебаний колеса, приведенными на рис. 1. Что касается частоты
553 Гц, то она генерируется системой рабочее колесо–направляющий
аппарат и равна 218 + 335 = 553 Гц.
Взаимодействие между автоколебаниями и вынужденными коле-
баниями часто встречается при анализе колебаний роторов, где из-за
наличия подшипников скольжения и внутреннего трения могут возни-
кать автоколебания, а дебаланс ротора приводит к его возбуждению
гармоническими силами.
Существенный вклад в изучение взаимного влияния автоколеба-
ний и вынужденных колебаний был сделан А. Тондлом [4], который
предложил различные варианты решений уравнения Ван дер Поля как
аналитические, так и на ЭВМ.
При трактовке результатов, полученных при тензометрировании
колес турбомашин, желательно исходить из некоторых общепринятых
уравнений движения, чтобы выделить еще раз физическую сущность
явления. Поэтому обратимся к уравнению Ван дер Поля в его класси-
ческом варианте:
¨ y − μ(1 − βy − γy2) ˙y + y = P cos Ωt.
Пользуясь средствами Math, решим это неоднородное дифферен-
циальное уравнение второго порядка при заданных значениях β = 0,5 ,
γ = 1 и μ = 0,01. Значение P примем равным единице. Меняя значе-
ние относительной частоты возбуждения Ω от 0,7 до 1,28, получаем
ряд решений (рис. 5) и построим график зависимости амплитуды ко-
лебаний от относительной частоты (рис. 6).
Из графика (рис. 6) и приложенных осциллограмм следует, что
область 0 ,7 < Ω < 1 ,28 можно разбить на три части. Слева на графике
при Ω = 0,9 биения пропадают по мере роста величины Ω, при Ω = 1
амплитуда колебаний достигает своего максимального значения, затем
опять начинаются биения колебаний при Ω = 1,15.
В радиотехнике уравнением Ван дер Поля описывают работу авто-
генератора на режиме синхронизации [5, 6]. Изменяя Ω относительно
единицы, можно определить область синхронизации, а также области
биения колебаний. В данном случае наличие биений указывает на то,
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2015. № 1 97