тока примем постоянное значение
q
=
−
λG
единственной составляю-
щей этого вектора, перпендикулярной боковым граням параллелепи-
педа. Тогда формула (15) примет вид
I
1
[
q
] =
−
(
λG
)
2
2
BH
−
πr
2
m
/
2
λ
?
L
+
π
r
2
m
−
r
2
1
2
λ
m
L
+
π
r
2
1
−
r
2
0
2
λ
?
L
+
π
r
2
0
L
2
λ
◦
?
+
+
λ
?
G
2
BHL.
(16)
Принятые допустимые распределения температуры и плотности
теплового потока для неоднородной области отличаются от действи-
тельных и поэтому значения
J
1
[
T
]
и
I
1
[
q
]
не будут совпадать, причем
J
1
[
T
]
> I
1
[
q
]
. В промежутке между этими значениями должно быть
расположено и значение
J
0
= (
λ
?
/
2)
G
2
BHL
минимизируемого функ-
ционала (13) для однородной области с коэффициентом теплопровод-
ности
λ
?
. Тогда при
(
r
1
/r
m
)
2
=
C
V
с учетом формулы (14) из условия
J
1
[
T
]
≥
J
0
получим верхнюю оценку:
e
λ
+
= 1
−
C
V
+ ( ˉ
λ
(1
−
r
2
0
/r
2
1
) + ˉ
λr
2
0
/r
2
1
)
C
V
≥
e
λ
?
,
а при использовании формулы (16) из условия
I
1
[
q
]
≤
J
0
найдем ниж-
нюю оценку:
e
λ
−
= 1
/
(1
−
C
V
+ ((1
−
r
2
0
/r
2
1
)
/
ˉ
λ
+ (
r
0
/r
1
)
2
/
ˉ
λ
)
C
V
)
≤
e
λ
?
для безразмерного отношения
e
λ
?
=
λ
?
/λ
m
. Отметим, что равенство
для верхней оценки совпадает по структуре с формулой (1) и иден-
тично этой формуле в случае изотропии волокон и промежуточного
слоя.
Результаты расчетов.
Для примера расчета примем
λ
?
= (
λ
◦
?
+
+
λ
m
)
/
2
и
r
0
/r
1
= 0
,
9
. На рис. 2 при различных значениях
ˉ
λ
при-
ведены графики зависимостей от
C
V
верхней
e
λ
+
(штрихпунктирные
линии 2) и нижней
e
λ
−
(штриховые линии 2) оценок, сплошными кри-
выми (3) представлены графики зависимостей
e
λ
?
, построенные по
формуле (11), а пунктирные линии (4) соответствуют зависимостям
e
λ
◦
?
, определяемым формулой (12). Ясно, что при
ˉ
λ
= 1
графики всех
зависимостей будут соответствовать на этих рисунках горизонтальной
линии с ординатой, равной единице.
При указанных исходных для всех принятых значений
ˉ
λ
каждая
сплошная кривая лежит в полосе между соответствующими штрих-
пунктирной и штриховой линиями, причем эта полоса расширяется
при увеличении
C
V
и по мере отклонения параметра
ˉ
λ
от единицы.
Из сопоставления графиков на рис. 2,
а
и
б
следует, что возможная по-
грешность расчетов по формуле (11) в данном случае довольно мала,
т.е. полученные оценки значения эффективного коэффициента тепло-
проводности композита в направлении, перпендикулярном волокнам,
можно считать достоверными. Для частного случая
λ
?
=
λ
◦
?
расчет
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2014. № 1 63
