Рис. 1. Модель структуры компо-
зита для построения двусторонних
оценок
частицы радиусом
r
m
, выберем в фор-
ме прямоугольного параллелепипеда
длиной
L r
m
и высотой
H r
m
,
поперечное сечение которого плоско-
стью, перпендикулярной волокну, по-
казано на рис. 1. Одна из боковых
граней параллелепипеда соответству-
ет в полярных координатах значению
ϕ
=
π/
2
и имеет температуру, прини-
маемую за нуль отсчета, а точки про-
тивоположной грани, на которой за-
дана температура
T
0
=
GH
, имеют
координаты
r
cos
ϕ
=
B
, т.е. ширина
параллелепипеда равна
B
, причем
B r
m
. Остальные грани парал-
лелепипеда считаем идеально теплоизолированными.
Однородный материал в части области
V
вне составной частицы
имеет коэффициент теплопроводности
λ
?
. Таким образом, в неод-
нородной цилиндрической области объемом
V
0
=
BHL
, ограничен-
ной поверхностью
S
, распределение температуры
T
(
M
)
и коэффи-
циент теплопроводности
λ
(
M
)
являются функциями координат точки
M
2
V
, причем функция
λ
(
M
)
кусочно-постоянная и принимает зна-
чения
λ
◦
?
при
r
≤
r
0
,
λ
?
при
r
0
≤
r
≤
r
1
,
λ
m
при
r
1
≤
r
≤
r
m
и
λ
?
при
r
≥
r
m
.
Примем в качестве допустимого для минимизируемого функцио-
нала [ 12 ]
J
[
T
] =
1
2
Z
V
λ
(
M
)
r
T
(
M
)
2
dV
(
M
)
,
(13)
где
r
— дифференциальный оператор Гамильтона, линейное по ши-
рине параллелепипеда распределение температуры с постоянной со-
ставляющей градиента
G
. В этом случае из формулы (13) получим
J
1
[
T
] =
G
2
2
λ
?
BHL
−
πr
2
m
2
Lλ
?
+
+
π
r
2
m
−
r
2
1
2
Lλ
m
+
π
r
2
1
−
r
2
0
2
Lλ
?
+
π
r
2
0
2
Lλ
◦
?
.
(14)
Для максимизируемого функционала [12]
I
[q] =
−
1
2
Z
V
q(
M
)
2
λ
(
M
)
dV
(
M
)
−
Z
S
T
(
P
)q(
P
)
∙
n(
P
)
dS
(
P
)
, P
2
S,
(15)
где
n
— единичный вектор внешней нормали к поверхности
S
, в каче-
стве допустимого распределения вектора
q
плотности теплового по-
62 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2014. № 1
