При
r
=
r
0
из условий непрерывности распределения температу-
ры и радиальной составляющей вектора плотности теплового потока
следует
T
◦
(
r
0
, ϕ
) =
T
(
r
0
, ϕ
)
и
λ
◦
?
∂T
◦
/∂r
r
=
r
0
=
λ
?
∂T /∂r
r
=
r
0
,
где
λ
◦
?
и
λ
?
— коэффициенты теплопроводности соответственно во-
локна и промежуточного слоя в направлении, перпендикулярном рас-
положению волокон. Отсюда с использованием равенств (4) и (5) при
B
◦
= 0
находим
A
◦
=
A
+
B /r
2
0
и
A
◦
= (
λ
?
/λ
◦
?
)(
A
−
2
B /r
2
0
)
.
(7)
Из аналогичных условий при
r
=
r
с учетом формул (5) и (6) следует
A
+
B /r
2
1
=
A
m
+
B
m
/r
2
1
и
A
−
B /r
2
1
= (
λ
m
/λ
?
)(
A
m
−
B
m
/r
2
1
)
.
(8)
Наконец, из подобных условий при
r
=
r
m
и соотношений (3) и (6)
получим
A
m
+
B
m
/r
2
m
=
G
+
B/r
2
m
и
A
m
−
2
B
m
/r
2
m
= (
λ
?
/λ
m
)(
G
−
B/r
2
m
)
.
(9)
Последовательным исключением неизвестных из равенств (6)–(9)
находим
B/
(
Gr
2
m
) = (
e
λ
?
(1+
DC
V
)
−
1+
DC
V
)
/
(
e
λ
?
(1+
DC
V
)+1
−
DC
V
)
,
(10)
где
e
λ
?
=
λ
?
/λ
m
,
d
=
P/S
,
P
= (1
/
ˉ
λ
)
/
(
K/r
2
0
−
1
/r
2
1
)
−
1
/
(
K/r
2
0
+1
/r
2
1
)
,
S
= (1
/
ˉ
λ
)
/
(
K/r
2
0
−
1
/r
2
1
)+1
/
(
K/r
2
0
+1
/r
2
1
)
,
K
= ( ˉ
λ /
ˉ
λ
+1)
/
( ˉ
λ /
ˉ
λ
−
1)
,
ˉ
λ
=
λ
?
/λ
m
и
ˉ
λ
=
λ
◦
?
/λ
m
. Замена составной частицы равновеликим
цилиндром с внешним радиусом
r
m
и искомым коэффициентом тепло-
проводности
λ
?
приведет к исчезновению возмущения температурно-
го поля в окружающем ее однородном материале с тем же значением
λ
?
. Тогда в равенстве (3) следует положить
Δ
T
(
r, ϕ
) = 0
, что рав-
носильно условию
B
= 0
, которое с учетом формулы (10) позволяет
записать
e
λ
?
= (1
−
DC
V
)
/
(1 +
DC
V
)
.
(11)
При отсутствии промежуточного слоя (при
λ
=
λ
◦
) из формулы
(11) следует
e
λ
◦
?
= (1 + ˉ
λ
−
(1
−
ˉ
λ
)
C
V
)
/
(1 + ˉ
λ
+ (1
−
ˉ
λ
)
C
V
)
.
(12)
С этим равенством в частном случае неограниченной длины волокон
совпадает формула, полученная в работе [10].
Построение двусторонних оценок.
Для оценки возможной по-
грешности формулы (11) используем двойственную вариационную
формулировку задачи стационарной теплопроводности [11, 12], по-
зволяющую получить двусторонние оценки значения
λ
?
. Область
V
,
содержащую представительный элемент в виде половины составной
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2014. № 1 61
