в тепловом отношении взаимодействует с неограниченным массивом
однородного материала, коэффициент теплопроводности
λ
?
которого
подлежит определению как эффективная характеристика композита.
Таким образом, модель структуры композита содержит четыре фазы:
волокно, промежуточный слой, слой матрицы и неограниченный мас-
сив однородного материала. При этом для объемной концентрации
волокон с учетом промежуточного слоя будет справедливо равенство
C
V
=
r
2
1
/r
2
m
.
Центр поперечного сечения составной частицы поместим в на-
чале полярной системы координат, обозначив через
r
и
ϕ
радиаль-
ную и угловую координаты. Примем, что на большом расстоянии
r r
m
от начала координат задан вектор градиента температурно-
го поля в однородном материале, направленный по оси, от которой
происходит отсчет угловой координаты, т.е. при
r
→ ∞
установивше-
еся распределение температуры в этом материале описывает функция
T
∞
(
r, ϕ
) =
Gr
cos
ϕ
, где
G
— модуль вектора градиента. Эта функция
удовлетворяет уравнению Лапласа, которое в полярных координатах
имеет вид
1
r
∂
∂r
r
∂T
∂r
+
1
r
2
∂
2
T
∂ϕ
2
= 0
.
(2)
По мере приближения к составной шаровой частице температурное
поле в однородном материале претерпевает возмущение, описываемое
также удовлетворяющим уравнению (2) дополнительным слагаемым
Δ
T
(
r, ϕ
) = (
B/r
) cos
ϕ
, где
B
— подлежащий определению постоян-
ный коэффициент. Таким образом, температурное поле в однородном
материале, удовлетворяющее заданному условию при
r
→ ∞
и урав-
нению (2), описывает функция
T
(
r, ϕ
) =
T
∞
(
r, ϕ
) + Δ
T
(
r, ϕ
) = (
Gr
+
B/r
) cos
ϕ.
(3)
Аналогичные зависимости описывают распределения температуры в
волокне
T
◦
(
r, ϕ
) = (
A
◦
r
+
B
◦
/r
) cos
ϕ,
(4)
в промежуточном слое
T
(
r, ϕ
) = (
A r
+
B /r
) cos
ϕ
(5)
и в слое материала матрицы
T
m
(
r, ϕ
) = (
A
m
r
+
B
m
/r
) cos
ϕ.
(6)
В соотношении (4)
B
◦
≡
0
в силу ограниченности температуры в
центре волокна. Таким образом, в равенства (3)–(6) входят шесть неиз-
вестных коэффициентов
B
,
A
◦
,
A
,
B
,
A
m
и
B
m
, которые необходимо
найти из граничных условий на цилиндрических поверхностях с ради-
усами
r
0
,
r
1
и
r
m
, предполагая тепловой контакт на этих поверхностях
идеальным.
60 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2014. № 1
