+
ZZ
S
3
1
2
α
3
(
T
(3)
−
T
(3)
∞
)
2
dS
+
ZZ
S
4
1
2
α
4
(
T
(4)
−
T
(4)
∞
)
2
dS.
(16)
Применение стандартных процедур МКЭ позволяет получить из
выражения (16) разрешающее уравнение вида
C
∂
∂τ
(T) + ΛT + Q = 0
,
(17)
где
C
и
Λ
— глобальные матрицы теплоемкости и теплопроводности;
T
и
Q
— глобальные векторы узловых температур и приведенных
тепловых потоков, исходящих из узловых точек тела;
0
— нулевой
вектор.
Решение уравнения (17) получено численным интегрированием
[11–14]. На начальном этапе применена условно устойчивая явная раз-
ностная схема, описываемая матричным уравнением
T
k
= T
k
−
1
+ C
−
1
k
−
1
(Q
k
−
1
−
Λ
k
−
1
T
k
−
1
)Δ
τ
1
.
(18)
Индекс
k
в уравнении (18) соответствует значениям компонент
матриц и векторов в момент времени
t
k
, а индекс
k
−
1
— в момент
времени
t
k
−
1
;
Δ
τ
1
=
t
k
−
t
k
−
1
.
Шаг интегрирования по времени
Δ
τ
1
выбирается из условия устой-
чивости схемы (18):
Δ
τ
6
cρd
2
2
λ
(1 +
Bi
)
,
где
d
— характерный размер КЭ; Bi
=
αd
λ
— число Био.
Переход к безусловно устойчивой трехслойной разностной схеме
вида
T
k
=
3
2Δ
τ
2
C
k
−
1
+ Λ
k
−
1
−
1
×
×
3
2Δ
τ
2
C
k
−
1
T
k
−
2
−
Λ
k
−
1
(T
k
−
1
−
T
k
−
2
) + 3Q
k
−
1
(19)
осуществляется после выполнения
n
1
=
int
r
t
Δ
τ
1
итераций по
схеме (18). Здесь
t
— верхний предел интегрирования. Шаг интегри-
рования для трехслойной схемы (19) увеличивается при этом в
n
1
раз:
Δ
τ
2
=
n
1
Δ
τ
1
.
Такой выбор числа
n
1
обеспечивает минимальное суммарное коли-
чество итераций при последовательном применении двухслойной (18)
и трехслойной (19) схем интегрирования.
Вычислительные процедуры МКЭ реализованы в виде программ-
ного комплекса на языке Паскаль.
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2006. № 3 29
