Рис. 1. Стержневая модель волнистой
поверхности
Продифференцируем уравне-
ние (5) по времени:
B
˙ˉ
Q
+
k
I
vQ
=
K
˙ˉ
T
−
˙
h
ˉ
I.
(6)
Для определения
˙ˉ
T
примем сле-
дующее допущение: температура
участка поверхности пропорцио-
нальна количеству теплоты, посту-
пившему через этот участок, т.е. в
дифференциальной форме
˙ˉ
T
=
k
λ
v
ˉ
Q
;
ˉ
T
(0) = 0
,
(7)
где
k
λ
— коэффициент пропорциональности.
Принятое допущение предполагает отсутствие теплообмена меж-
ду участками контакта. Поэтому время фрикционного взаимодействия
t
т
должно быть достаточно малым, чтобы можно было пренебречь
указанным процессом.
Подставляя выражение (7) в уравнение (6), после преобразований
получим следующее уравнение:
B
˙ˉ
Q
=
v
[
k
λ
K
−
k
I
E
]
Q
−
˙
h
ˉ
I
;
ˉ
Q
(0) =
B
−
1
[ ˉ
H
0
−
h
(0) ˉ
I
]
.
(8)
Внешнее воздействие на поверхности задается кинематически в
виде законов изменения скорости
v
=
v
(
t
)
и сближения
h
=
h
(
t
)
.
Определение матриц термической и контактной податливости.
В уравнении (8) остаются неопределенными матрицы
K
и
B
. Для
их определения необходимо выбрать модель волнистой поверхности.
В настоящей работе используется стержневая модель с круглым се-
чением радиуса
a
(цилиндрическая модель) [3]. Волнистый рельеф
представляется набором цилиндров с высотами
ˉ
H
0
(рис. 1).
Для нахождения элементов матрицы
K
используется приближен-
ное решение задачи, в которой определяются перемещения в упругом
полупространстве, вызванные нагревом круговой области ограничива-
ющей поверхности (рис. 2) [4]. Если в качестве термоупругого переме-
щения выступа, вызванного нагревом его основания, принять среднее
перемещение по круговой области, то матрица термической податли-
вости примет вид
K
=
8 (1 +
ν
)
aα
T
3
π
1
3
πa
16
d
12
. . .
3
πa
16
d
1
n
3
πa
16
d
21
1
. . .
3
πa
16
d
2
n
. . .
. . .
. . .
. . .
3
πa
16
d
n
1
3
πa
16
d
n
2
. . .
1
,
(9)
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2007. № 2 73
