Здесь
t
— время,
ρ
— плотность газа,
p
— давление,
e
— внутренняя
энергия,
J
=
∂
(
r, z, ϕ
)/
∂
(
ξ, η, ζ
)
– якобиан преобразования координат,
V
ξ
=
ξ
r
u
+
ξ
z
v
+
ξ
ϕ
r
α
w
,
V
η
=
η
r
u
+
η
z
v
+
η
ϕ
r
α
w
,
V
ζ
=
ζ
r
u
+
ζ
z
v
+
ζ
ϕ
r
α
w
—
контравариантные компоненты вектора скорости в новой криволиней-
ной системе координат,
V
r
=
u, V
z
=
v , V
ϕ
=
w
— проекции вектора
скорости на оси
r, z
и
ϕ
цилиндрической системы координат
r, z, ϕ
,
α
= 0
— соответствует плоскому, а
α
= 1
— осесимметричному случаю
течения газовой смеси.
Компоненты тензора вязких напряжений
σ
i,j
и вектора
~S
1
ν
в системе
координат
r, z, ϕ
для сжимаемого газа имеют вид:
σ
rr
=
μ
2
∂u
∂r
−
2
3
div
~V
;
σ
zz
=
μ
2
∂v
∂z
−
2
3
div
~V
;
σ
ϕϕ
=
μ
2
1
r
α
∂w
∂ϕ
+ 2
α
u
r
−
2
3
div
~V
;
σ
rz
=
μ
∂u
∂z
+
∂v
∂r
;
σ
rϕ
=
μ
∂w
∂r
+
1
r
α
∂u
∂ϕ
−
α
w
r
;
σ
zϕ
=
μ
∂w
∂z
+
1
r
α
∂v
∂ϕ
;
div
~V
=
∂u
∂r
+
∂v
∂z
+
1
r
α
∂w
∂ϕ
+
α
u
r
;
~S
1
ν
=
J
0
, α
σ
rr
−
σ
ϕϕ
r
, α
σ
rz
r
, α
σ
rϕ
+
σ
ϕr
r
, α
λ
r
ξ
r
∂T
∂ξ
+
η
r
∂T
∂η
+
ζ
r
∂T
∂ζ
т
,
где
μ
— молекулярная вязкость.
Преобразуем тензор вязких напряжений
σ
i,j
с учетом криволиней-
ности системы координат
ξ, η, ζ
:
σ
rr
=
μ
4
3
ξ
r
∂u
∂ξ
+
η
r
∂u
∂η
+
ζ
r
∂u
∂ζ
−
2
3
ξ
ϕ
r
α
∂w
∂ξ
+
η
ϕ
r
α
∂w
∂η
+
ζ
ϕ
r
α
∂w
∂ζ
−
−
2
3
ξ
z
∂v
∂ξ
+
η
z
∂v
∂η
+
ζ
z
∂v
∂ζ
−
α
2
u
3
r
;
σ
zz
=
μ
4
3
ξ
z
∂v
∂ξ
+
η
z
∂v
∂η
+
ζ
z
∂v
∂ζ
−
2
3
ξ
r
∂u
∂ξ
+
η
r
∂u
∂η
+
ζ
r
∂u
∂ζ
−
−
2
3
ξ
ϕ
r
α
∂w
∂ξ
+
η
ϕ
r
α
∂w
∂η
+
ζ
ϕ
r
α
∂w
∂ζ
−
α
2
u
3
r
;
σ
ϕϕ
=
μ
4
3
ξ
ϕ
r
α
∂w
∂ξ
+
η
ϕ
r
α
∂w
∂η
+
ζ
ϕ
r
α
∂w
∂ζ
+
α
4
u
3
r
−
46 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2007. № 2
