Постановка задачи.
Численное исследование газодинамических
течений с учетом различного рода особенностей, которые возникают в
газовых потоках как внутри РСТТ, так и при истечении газовых струй
из них в спутный газовый поток, может быть выполнено на основе
решения нестационарных трехмерных уравнений Навье–Стокса.
При этом граничные условия, необходимые для решения уравне-
ний Навье–Стокса конечно-разностным методом, удобно реализуются,
когда границы расчетной области совпадают с координатными лини-
ями в некой обобщенной системе координат
ξ, η, ζ
. Эта система ко-
ординат получается путем перехода от цилиндрической
r, z, ϕ
к про-
извольной криволинейной системе координат
ξ, η, ζ
. Отметим также,
что на равномерной сетке в обобщенной системе координат
ξ, η, ζ
со-
храняется порядок конечно-разностной аппроксимации уравнений при
сгущении узлов сетки в физическом пространстве
r, z, ϕ
.
Введем преобразование координат вида
r
=
r
(
ξ, η
,
ζ
);
z
=
z
(
ξ, η
,
ζ
);
ϕ
=
ϕ
(
ξ, η
,
ζ
)
.
Нестационарные уравнения Навье–Стокса в векторной полудивер-
гентной форме в произвольной криволинейной системе координат
ξ, η, ζ
имеют следующий вид:
∂ ~U
∂t
+
∂ ~F
∂ξ
+
∂ ~G
∂η
+
∂ ~Q
∂ζ
+
~S
=
=
∂ ~F
v
∂ξ
+
∂ ~G
v
∂η
+
∂ ~Q
v
∂ζ
+
~S
v
;
~S
ν
=
~S
1
ν
+
~S
2
ν
.
При этом вектор зависимых переменных задачи
~U
, векторы пото-
ков
~F , ~G, ~Q
и вектор
~S
в криволинейной системе координат
ξ, η, ζ
выражаются следующим образом:
~U
=
J
[
ρ, ρu, ρv, ρw, ρe
]
т
;
~F
=
J
[
ρV
ξ
, ρuV
ξ
, ρvV
ξ
, ρwV
ξ
, ρeV
ξ
]
т
;
~G
=
J
[
ρV
η
, ρuV
η
, ρvV
η
, ρwV
η
, ρeV
η
]
т
;
~Q
=
J
[
ρV
ζ
, ρuV
ζ
, ρvV
ζ
, ρwV
ζ
, ρeV
ζ
]
т
;
~S
=
J
α
ρu
r
α
ρ
(
u
2
−
w
2
)
r
+
ξ
r
∂p
∂ξ
+
η
r
∂p
∂η
+
ζ
r
∂p
∂ζ
α
ρuv
r
+
ξ
z
∂p
∂ξ
+
η
z
∂p
∂η
+
ζ
z
∂p
∂ζ
α
2
ρuw
r
+
ξ
ϕ
r
α
∂p
∂ξ
+
η
ϕ
r
α
∂p
∂η
+
ζ
ϕ
r
α
∂p
∂ζ
α
ρeu
r
+
p
J
∂
(
JV
ξ
)
∂ξ
+
∂
(
JV
η
)
∂η
+
∂
(
JV
ζ
)
∂ζ
+
+
α
pu
r
+
au
ρw
2
r
−
αw
ρuw
r
.
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2007. № 2 45
