где
U
=
ρ
e
;
F
(
U
) =
ρv
(
e
+
p
)
v
;
S
(
x
)
— площадь поперечно-
го сечения канала,
x
— продольная координата. Исследуемыми пара-
метрами являются:
ρ, v, p
— плотность, скорость движения, давление
рабочего вещества;
e
— полная энергия рабочего вещества на единицу
объема.
Давление определяется из уравнения состояния
p
=
f
(
E, ρ
)
, в ко-
тором
E
— внутренняя энергия газа на единицу массы. В качестве урав-
нения состояния используется уравнение Менделеева–Клапейрона
p
= (
γ
−
1)
e
−
1
2
ρv
2
, так как рассматривается адиабатический про-
цесс.
С помощью замены
z
=
x
0
S
(
x
)
dx
приведенные уравнения запи-
сываются в дивергентной форме:
∂U
∂t
+
∂ F U S
(
z
)
∂z
= 0
,
(1)
∂
(
ρv
)
∂t
+
∂
((
p
+
ρv
2
)
S
(
z
))
∂z
−
p
dS
(
z
)
dz
= 0
.
Уравнения (1) дополняются граничными и начальными условиями,
а также условиями сопряжения каналов.
На левой границе канала I задается условие наличия источника
постоянного давления:
p
(
z
l
, t
) =
p
0
,
ρ
(
z
l
, t
) =
ρ
0
,
∂v
∂z
(
z
l
, t
) = 0
, где
p
0
,
ρ
0
— значения давления и плотности в канале при
t
= 0
. На правой
границе канала II граничное условие задает условие жесткой стенки:
∂p
∂z
(
z
p
, t
) = 0
,
∂ρ
∂z
(
z
p
, t
) = 0
,
v
(
z
p
, t
) = 0
.
Начальные условия определяют профиль распределения характе-
ристик рабочего вещества при
t
= 0
:
p
(
z,
0) =
p
0
,
v
(
z,
0) = 0
. Для
канала I (
z
l
z
0)
p
0
= 10
атм, для канала II (
0
z z
p
)
p
0
= 1
атм.
В точке
z
= 0
в каждый момент времени
t
устанавливаются усло-
вия сопряжения каналов I и II. Они зависят от площади открытого
отверстия
S
0
. Если каналы не взаимодействуют, то на правой грани-
це канала I и левой границе канала II принимается условие жесткой
стенки
∂p
∂z
(0
, t
) = 0
,
∂ρ
∂z
(0
, t
) = 0
,
v
(0
, t
) = 0
. В противном случае,
рассчитываются два значения каждой характеристики: первое вычи-
сляется из условия жесткой стенки, второе — из условия полностью
открытого отверстия. Полученные значения должны учитываться про-
порционально площади открытой и закрытой частей отверстия.
Исследование системы дифференциальных уравнений (1) для всей
конструкции целиком затруднено, что связано с наличием скачка пло-
100 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2010. № 4
