метричные элементы матрицы жeсткости системы.
c
7
,
1
=
a
1
V
1
+
6
EJ
1
l
3
1
;
c
1
,
7
=
6
EJ
1
l
3
1
;
c
10
,
4
=
a
4
V
2
+
6
EJ
3
l
3
3
;
c
4
,
10
=
6
EJ
3
l
3
3
.
(11)
Характерные ненулевые симметричные элементы матрицы жесткости
имеютвид
c
1
,
1
=
12
EJ
1
l
3
1
;
c
10
,
5
=
−
6
EJ
3
l
2
3
;
c
13
,
14
=
−
EF
1
l
1
;
c
13
,
4
=
C
1
sin
ϕ.
(12)
Здесь
l
j
(
i
= 1
, . . . ,
4
) — длины участков балок;
V
1
— скорость внеш-
него обтекания планера;
V
2
— скорость внутреннего обтекания пря-
моточного двигателя;
α
— угол наклона панели;
C
1
,
C
2
,
C
3
— жест -
кости сосредоточенных упругих связей (из них упругий элемент
C
2
работает по относительному углу поворота точек крепления, осталь-
ные упругие элементы работают по относительному смещению точек
крепления);
EJ
j
(
j
= 1
. . .
4
) — изгибные жесткости участков балок;
EF
j
(
j
= 1
. . .
4
) — жесткости участков балок при растяжении-сжатии;
a
j
(
j
= 1
. . .
4
) — коэффициенты аэродинамических нагрузок в задаче
аэроупругости.
Несимметрия матрицы жесткости обусловлена тем, что аэродина-
мические нагрузки совершаютработу на нормальном смещении рас-
четного сечения, а зависят от угла его поворота.
Результирующее уравнение динамики имеет вид
[
M
]
{
¨
X
}
+ [
D
]
{
˙
X
}
+ [
C
(
v
1
, v
2
)]
{
X
}
= 0
.
(13)
В результате подстановки в него решения
X
(
t
) =
Xe
λt
,
(14)
где
λ
=
δ
+
iw
— характеристический показатель, получаем алгебраи-
ческую квадратичную задачу собственных значений с действительной
несимметричной матрицей
(
λ
2
M
+
λD
+
C
)
X
= 0
.
(15)
Отметим, что размерность задачи может быть уменьшена до 12,
так как углы поворота расчетных сечений могут быть исключены из
рассмотрения.
Для вычислений принято:
α
= 20
◦
, изгибные и продольные жест-
кости участков балок равны единице;
m
i
=
i
,
i
= 1
, . . . ,
6
. Жесткости
пружин
C
1
= 1
Н/м,
C
2
= 3
Н
·
м/рад,
C
3
= 2
Н/м. Коэффициенты аэро-
динамического демпфирования
d
i
= 0
,
1
,
i
= 1
, . . . ,
6
.
Эволюция собственных значений характеристического показателя
второго и третьего тонов колебаний на комплексной плоскости приве-
54 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2010. № 2
